Хотя мои сообщения удаляются, сошлюсь на источник  по - проще:
"Ускоренное поступательное движение системы отчёта  эквивалентно по своему действию на движение тел появлению соответственных сил тяготения - это положение называют эквивалентностью сил тяготения и сил инерции".
"Силы тяготения зависят от расстояния до притягивающего тела, то эквивалентность (их  и сил инерции) будет иметь место только в ограниченных областях, в пределах которых различие в расстояниях можно пренебречь" (Элемен. учебник физики, под ред Г. С. Ландсберга, 1973 г. стр. 295)
А если не пренебрегать? что пытается сделать автор темы.
"Происхождение приливов, вызываются нарушением эквивалентности сил инерции и сил тяготения " (там же, стр. 307)

Так  должно быть, если и в этом случае правильны принципы ОТО . Приведу пример из которого следует , мне так кажется, что так может и не быть . Мы говорим об классическом нерелявистком продольном эффекте Доплера первого порядка , в таком случае величина смещения частоты определяется v/c и сам ход времени для источника сигнала и приемника сигнал одинаков. .  Примем , что за время излучения сигнала скорость источника не меняется, а за время приема сигнала скорость приемника тоже не меняется - сигнал короткий , сам сигнал это некоторое число колебаний .
Берем ускоренную систему отсчета вот по такому закону движения
v=gt        (1)
В этой системе отсчета приемник и источник находятся на каком то расстоянии друг от друга по направлению ускорения ( источник в начале системы отсчета ) . В момент времени t=0 неподвижный источник излучает сигнал , пока этот сигнал достигает приемник скорость системы меняется из за ускорение и равна в момент времени t (1) . Рассмотрим моменты времени прихода начала и конца этого сигнала от источника к приемнику . Для начала сигнала получится  такое равенство
T1=U1+ d/c    (2)
Здесь T1- момент времени прихода начала сигнала к приемнику
 U1 - момент времени излучения начала сигнала источником
 d - расстояние которое проходит начало сигнала от источника к приемнику .
Для конца сигнала получится такое равенство
T2=U2+ d/c + v( T2-T1) /с  (3)
Обозначения как бы и так понятны .  Из (2) и (3) получаем
(T2-T1) ( 1- v /c )= (U2-U1)   (4)
В нашем приближение можно (4) переписать так
(T2-T1)=( U2-U1)(1+v/c)    (5)
Очевидно, что из (5) следует смещение частоты сигнала и это смещение будет в красную сторону . Если само расстояние между источникам и приемником в ускоренной системе отсчета ( они неподвижны относительно друг друга ) равно  L, то можно приближенно написать
v=gt=g(L/c )  (6)
Подставляем (6) в (5) и получаем
(T2-T1)=( U2-U1)(1+gL/c^2)    (7)
И почему все это не должно работать в случае , когда система отсчета свободно падает  с ускорением ?

Возможно и страдаю . И еще страдаю из за того, что в таком простейшем случае Вы не пояснили в чем тут правильна ОТО .

Простите, правильна в чем? В том, что ОТО - есть ОТО? Вот, смотрите, если исходить из аналогии с планиметрией, то вы делаете следующее. Вот есть у вас треугольник на плоскости. Через одну из вершин вы провели прямую, параллельную основанию, и отразили треугольник относительно данной прямой. Теперь у вас есть два треугольника, один из которых является отражением другого. Далее вы пытаетесь проделать хитроумные приблизительные вычисления, в надежде показать, что прямые, проходящие через основания этих двух треугольников все-таки будут пересекаться, несмотря на то, что в планиметрии они по определению (исходя из аксиом планиметрии) должны быть параллельны. Вопрос: сможете ли вы это показать? Ответ: оставаясь в рамках планиметрии - нет. Вы можете поставить эксперимент и показать, что в ряде случаев аксиомы теории оказываются неверны - но это совсем другой вопрос.

Точно так же и ОТО строили как теорию, в которой справедлив принцип эквивалентности. Ее специально так сделали, чтобы именно так получалось, а вы задаете вопрос, почему. Да потому что. Потому что именно так она и устроена, что какие бы вы хитроумные проверки и придумки не выдумали, результат всегда будет один и тот же.