Вот уже шестой год Научно-технический центр "Университетский" и журнал "Абитуриент" проводят Всероссийское заочное тестирование по математике для поступающих в вузы.

Это мероприятие абитуриенты успели полюбить. Каждую весну сотни из тех, кто прошел тестирование, приглашались в вузы на досрочные экзамены и становились студентами уже в марте-мае, не дожидаясь летних вступительных экзаменов и всей связанной с этим нервотрепки. Всего за эти годы в тестировании в той или иной форме участвовало около 40 ведущих московских вузов. Они рассылали каждому участнику тестирования полную информацию обо всех запланированных на весну мероприятиях: досрочных, репетиционных и вступительных экзаменах, тестированиях, олимпиадах, Днях открытых дверей и др. Многие из них для участников тестирования объявляли льготы на вступительных экзаменах.

Очень жаль, что Министерство образования РФ этой весной, по сути, запретило проведение досрочных экзаменов. Поэтому часть вузов отказалась от их проведения, другие проводят, но называют их региональными олимпиадами. В связи с этим заочное тестирование как первый тур поступления в вуз в значительной мере потеряло свою силу. Тем не менее даже в такой ситуации несколько вузов все-таки использовали результаты тестирования при приеме.

Например, в марте на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова проводилась олимпиада по математике "АБИТУРИЕНТ-99", на которую допускались и лучшие участники нашего заочного тестирования, проживающие за пределами Москвы и Московской области. Успешно выступившие на этой олимпиаде представлялись к зачислению на факультет.

А в Российском государственном университете нефти и газа им. И. М. Губкина (ГАНГ) досрочные вступительные экзамены проводились в начале мая только для выпускников подготовительных курсов. Но к этим экзаменам традиционно допускаются и участники тестирования. В итоге каждый год в ГАНГ зачисляется несколько десятков человек, прошедших заочное тестирование.

В МГТУ "СТАНКИН" на технические факультеты зачислялись лучшие участники за

очного тестирования (при условии успешной сдачи экзаменов по математике). Кроме того, в качестве результатов экзаменов засчитывались результаты предварительной аттестации.

Сейчас сложно говорить о том, какие льготы будут предоставляться участникам заочного тестирования весной 2000 года. Это зависит от того, какими станут новые правила приема в вузы, которые скоро должны быть приняты в Министерстве образования РФ.

Не исключено даже, что через несколько лет вступительные экзамены отменят вообще. Следите за нашими публикациями!

Но как бы ни сложилась ситуация с досрочными экзаменами, просто проверить свои силы очень полезно всем абитуриентам. Ведь, решив любой из данных тестов и выслав его по указанному ниже адресу, вы получите обратно полные решения задач всех трех тестов с анализом характерных ошибок, проверенную работу с отмеченными недочетами и указанием, над чем вам следует работать в будущем. Те же, кто хорошо справится с тестом (под словом "хорошо" вовсе не имеется в виду, что решено большинство задач, иногда достаточно грамотно и четко решить несколько), имеют шансы получить персональные приглашения на досрочные и репетиционные экзамены в конкретные вузы (надеемся, что такие экзамены все же не отменят), а также награды (см. далее).

Кто-то из вас, возможно, решит, что это не для него: "куда там соваться с моим знанием математики..." - и будет неправ! Во-первых, "не боги горшки обжигают" - многие склонны сильно преуменьшать свои знания; а во-вторых, во многих вузах требуется не столь уж высокий уровень знания математики.

***

Перед вами три теста. Тест № 1 определяет уровень владения стандартной школьной программой по математике, тест № 2 соответствует уровню вузовского вступительного экзамена, тест № 3 - тест повышенной сложности, соответствующий вузу с высоким уровнем преподавания математики. При этом задачи во всех тестах несколько более сложные, чем задачи конкретных экзаменов. Это сделано потому, что у вас будет много времени на решение, что вы будете в спокойной домашней обстановке, что можно "посоветоваться" с учебником, с друзьями, а порой и с учителем.

Возникает вопрос: какой же тест решать? Это зависит от того, на какой уровень вступительного экзамена вы "претендуете".

Если вы хотите поступить в вуз с высоким уровнем преподавания математики, мы рекомендуем решать тест № 3. Можете вместо этого (или вместе с этим) попытаться хорошо справиться с тестом № 2. Если же ваш вуз "обычный", то решайте тест № 1 или 2. Вы вправе решить один, два или все три теста. Оценки по каждому из них независимы и не влияют на оценки другого теста.

Несколько слов об оформлении работ. Тест должен быть решен в отдельной тетради. Необходимо оставить для замечаний проверяющих поля шириной 6 клеточек. Условия задач переписывать не надо. Если вы решаете два или три теста, то их можно решать в этой же тетради, а если не хватает места, то добавить другую (или использовать тетрадь в 24 листа).

На обложке тетради обязательно укажите: фамилию, имя, отчество; почтовый адрес и индекс; школу и класс, в котором учитесь.

Участие в тестировании платное. Но сумма - достаточно умеренная, она включает в себя рекламные, почтовые, полиграфические, организационные расходы, оплату проверяющих тест преподавателей. Вы должны перечислить почтовым переводом 60 рублей за один тест (соответственно за два теста - 100 руб., за три - 150 руб.) и вместе с тетрадью прислать квитанцию об оплате или ее копию.

Адрес для отправления тетрадей и переводов: 117296, Москва, Университетский пр-т, д. 7, НТЦ "Университетский". Последний срок отправления (по почтовому штемпелю) - 20 января 2000 года.

Если вы боитесь делать предоплату, напишите на обложке тетради: "Оплату произведу при получении тестов", и тогда вы оплатите тесты уже при получении от нас своих тетрадей на почте в феврале-марте. Правда, сумма в этом случае будет примерно на 30 рублей больше.

Ваши проверенные тетради вместе с информационным пакетом будут рассылаться обратно в феврале - начале марта.

В этом году впервые лучшие участники тестирования будут награждены Оргкомитетом: они получат дипломы I, II, III степени и ценные призы.

Успехов вам! Ждем ваши работы!

Тест № 1

1. Упростить выражение \[ \frac {(a-b)^2 + ab} {(a+b)^2 -ab} : \frac {a^5 + a^3 b^2 + a^2 b^3 + b^5} {(a^3 + a^2b + b^2a + b^3)(a^3 - b^3)} \] При каких значениях а и b это выражение определено?

2. Сколько решений имеет уравнение \[ |x-1| + |x-3| = a \] при различных значениях параметра а?

3. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 7, а их произведение - 8. Найти четвертый член прогрессии.

4. Решить уравнение \[ \sin^4x + \cos^4x + \sin {2x} = \frac 7 5 . \] 5. Решить уравнение \[ (x^2-x+1)^4 - 5x^2(x^2-x+1)^2 + 4x^4 = 0 . \] 6. Решить неравенство

\[ \log_{\frac {x} {10}} \log_x \sqrt{10-x} > 0. \] 7. Решить уравнение

\[ \sqrt{\cos^4x - \frac {\cos^2x}{2} + \frac {1}{16} } + \sqrt{\cos^4x - \frac {3\cos^2x}{2} + \frac {9}{16} } = \frac 1 2. \] 8. Углы при вершинах В и С выпуклого четырехугольника ABCD прямые, а синус угла D равен `4/sqrt 17`.

При этом известно, что сторона ВС вдвое длиннее стороны АВ и на 5 см - стороны CD. Найти площадь этого четырехугольника.

9. В треугольник со сторонами АВ = 5 см, ВС = 7 см, АС = 6 см вписана окружность, которая касается стороны АС в точке D. Найти длину отрезка BD.

10. В правильном тетраэдре ABCD с ребром а точка F является серединой ребра CB, а точка E - серединой отрезка DF. Найти длину отрезка АЕ.

Тест № 2

3. О двух треугольниках известно, что длины сторон первого образуют арифметическую прогрессию, а второй является равносторонним. Известно, что их периметры совпадают и равны 3 см, а площади относятся как 4:5. Определить стороны треугольников.

4. Решить неравенство \[ \left( \sin \frac{59\pi}{20} \right)^\sqrt{\sqrt{7-x}-x+1} - \cos{\left( \frac{299}{20}\pi \right)} \ge 0 .\] 5. Решить неравенство при всех значениях параметра а \[ \log_a(x-2) + \log_ax \gt \left( \frac x5 \right)^{\log_{\frac x5}2} - 1 .\] 6. Определить а, если известно, что уравнение \[ (a+1)x^4 -2(a+6)x^2 + a - 2 = 0 . \] имеет четыре различных корня.

7. Решить неравенство \[ (x^2-x+1)^4 - 5x^2(x^2-x+1)^2 +4x^4 \ge 0 . \] 8. Решить уравнение \[ |y-2|+1 = 2\cos(\pi xy) \cdot \lg(x+y) - \lg^2(x+y) . \] 9. В выпуклый четырехугольник ABCD с углами \( \angle A = 5\pi/9 \) и \( \angle B = 7\pi/18 \) вписана окружность, касающаяся отрезков АВ, ВС, CD, AD в точках E, F, G, H соответственно. Найти угол FGH.

10. В правильном тетраэдре ABCD с ребром а точка F является серединой ребра CB, а точка E - серединой отрезка DF. Найти такую точку Н на ребре DC, чтобы расстояние АН + НЕ было минимальным. Чему равно это расстояние?

Тест № 3

3. В арифметической прогрессии с положительной разностью шестой член равен 3. При каком целом значении разности прогрессии произведение первого, четвертого и пятого членов прогрессии будет наибольшим?

4. При каком соотношении между величинами a, b и с выражение \[ y = a(\sin^6x + \cos^6x) + b(\sin^4x + \cos^4x) + c\sin^2x\cos^2x \] не зависит от х? Чему оно тогда равно?

5. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x+2 < \log_2(24/y),\\ \log_4(x/y) = (x/2)^{\log_{x/2}2} - 1 \end{cases} \] 6. Решить неравенство \[ \sqrt 2 e^{|\ln \frac x2|} \ge \sqrt{9-x}\] 7. Сколько корней на отрезке `[0;pi]` имеет уравнение \[ x^2 - \pi x + a = b sin x \] если параметр b есть наибольшее возможное значение суммы квадратов корней квадратного трехчлена \[ x^2 - x\sqrt{1-c} + 1 - 2c ? \] 8. а) Изобразить на координатной плоскости множество точек (х; y), удовлетворяющих соотношению \[ |y| = \sqrt{3 - x^2 - 2|x|} - 1 . \] б) Найти площадь, ограниченную полученной линией.

9. В треугольнике АВС, в котором AB : BC = 2 : 3, медиана АМ пересекает биссектрису BL в точке О. Найти отношение площади треугольника ОВМ к площади треугольника AOL.

10. Треугольная пирамида SABC имеет в основании равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, равной 4 см, и перпендикулярной ребру SC. Найти объем пирамиды, если медиана CD основания пирамиды составляет угол \( \arcsin(\sqrt{55}/10) \) с ребром SA и угол \( \pi / 2 \) с ребром SC.

№12, 1999