Учёные Физического института им. П. Н. Лебедева РАН в сотрудничестве с Институтом теоретической физики им. Л. Д. Ландау РАН получили новые результаты в области математической физики. На основе этих результатов можно строить довольно точные модели таких явлений, как сход лавины, лесные пожары или дорожные пробки.

Снежная лавина может сойти от случайно брошенного камня.

Представим себе решётку из линий на плоскости — как на тетрадном листе в клеточку, только очень большом. И пусть эти линии на самом деле трубки, по которым течёт вода. С одной стороны этой системы трубок стоит бак с водой, а на каждой такой линии есть краники, которые случайным образом с некоторой вероятностью открыты или закрыты. В этом случае возникают следующие вопросы. Как в зависимости от величины этой вероятности понять, будет ли вода вытекать с другой стороны? Через сколько в среднем потоков вода прольётся? Сколько будет мест протекания? Если протекло в одном месте, то какова вероятность того, что протекло в другом? Похожие вопросы возникают и в случае возникновения дорожных пробок.

Сотрудники ФИАНа выяснили, что целый класс систем такого рода имеет внутри себя скрытую симметрию. Увидеть эту симметрию «невооружённым глазом» практически невозможно, но она просматривается математически и описывается в терминах объектов, называемых квантовыми группами. «Возбуждения» в этих системах, оказывается, можно представлять себе как некоторые «квазичастицы», подчиняющиеся так называемой дробной статистике.

Наука об изучении критических явлений такими методами имеет приложения в разных областях, прежде всего в физике. Среди перспективных практических приложений — расчёт развития снежной лавины и определение условий её возникновения.

В данном случае мы имеем дело с системами, пространственно разделённые части которых подозревают о существовании друг друга. Другое название этого явления — самоорганизующаяся критичность, то есть способность системы, развивающейся с какого-то конкретно взятого состояния, переводить себя в состояние с «дальним порядком». Например, мы бросили песчинку или снежок в одном месте, а в результате пошла лавина. (Вспомните фильм французского режиссёра Дорана Фирода «Взмах крыльев мотылька»).

Обычно физики для описания тех или иных явлений природы используют существующие разделы математики. В данном случае физикам пришлось внести заметный вклад в математику, а именно в теорию квантовых групп, которая активно развивается последние два десятилетия. Именно квантовые группы, по мнению сотрудников ФИАНа, могут помочь разобраться в том, как функционируют самоорганизующиеся системы.

Квантовые группы можно определить как набор существ, живущих своей жизнью и умеющих разумно действовать на некоторых объектах, например, переставлять какие-то точки, заплетать косы или запутывать узлы. Представим себе, что мы берём очень длинную леску и сильно её запутываем, а потом приглашаем кого-то, чтобы он сказал, что у нас получилось — узел или что-то другое. Понятно, что математически дать ответ на этот вопрос очень непросто. Человек же, пытающийся это выяснить, начнёт что-то перетягивать, что-то втягивать, то есть одну часть лески немного распутает, другую — ещё больше запутает. Исходный узел и узел после «обработки» будут запутаны совершенно по-разному. Поэтому с узлом должен быть связан какой-то математический объект, нечувствительный к «попыткам распутывания», и если для двух узлов эти математические объекты не совпадают, то никакими перетягиваниями превратить один узел в другой нельзя.

Когда-нибудь с помощью квантовых групп можно будет классифицировать все мыслимые самоорганизующиеся критичности.

№3, 2010