САМАЯ СЛАБАЯ НЕПОБЕДИМАЯ КОМБИНАЦИЯ В ПОКЕРЕ

Доктор физико-математических наук В. ИЛЬИЧЕВ.

Существует великое множество карточных игр. И все они (не считая самых примитивных) требуют хорошей памяти, знания основ математики и логического мышления, то есть качеств, очень полезных во многих жизненных ситуациях, а не только за карточным столом. В фильмах нередко встречаются сцены игры в покер. Обычно они призваны продемонстрировать психологическое преимущество положительного героя, когда он на слабой комбинации "заблефовывает" противника. Или же показываются "богатые" шулерские возможности отрицательного героя. Однако в реальной жизни существуют случаи, когда с помощью простых математических соображений можно гарантировать выигрыш, не прибегая к весьма сомнительным способам игры. Рассмотрим один из таких примеров.

Илл. 1.
Илл. 2.
Илл. 3.
Илл. 4.
Илл. 5.
Илл. 6.
Илл. 7.
Илл. 8.

Многие считают кроссворды слишком трудной головоломкой, потому что отгадать слово им не под силу. Но вписывать буквы в клетки нравится.
Ч. Уэзерелл. Этюды для программистов

В современном варианте покера используется "преферансная" колода из тридцати двух карт. Небольшой ее объем и отсутствие джокеров снижают долю случая и увеличивают возможности логического анализа. Напомним, что каждая из четырех мастей (пика, трефа, бубна, черва) содержит следующие карты:

туз (А) > король (К) > дама (Д) > валет (В)>десятка (10) > девятка (9) > восьмерка (8) > семерка (7).

Здесь и ниже обозначение a > b означает, что a сильнее b . Масти равноправны, обозначают ся первой буквой наименования, стоящей перед обозначением карты. Например: ПД - дама пик, Т7 - семерка треф, ЧА - туз червей и т. д.

Перечислим все названия и старшинство комбинаций карт, которые встречаются в покере.

Флеш-роял. Это пять карт одной масти, образующие так называемую "плотность". Внутри этого класса существует своя иерархия

(А, К, Д, В, 10) > (К, Д, В, 10, 9) > (Д, В, 10, 9, 8) > (В, 10, 9, 8, 7) > (10, 9, 8, 7, А).

(Иллюстрация 1)

Здесь левая - самая сильная комбинация - называется "флеш-роял Ас", а правая, наиболее слабая, - "циклический флеш-роял".

Каре. Это четыре карты одного достоинства, при этом

(Иллюстрация 2)

каре тузов > каре королей >... > каре семерок.

Цвет. Пять карт одной масти, не образующие "плотность". Самая сильная "цветная" комбинация - это (А, К, Д, В, 9).

(Иллюстрация 3)

Фул (три + два) . Три карты одного достоинства + две карты одного достоинства. Например, три короля + две десятки. При сравнении двух фулов сильнее тот, у которого старше тройка.

(Иллюстрация 4)

Тройка. Три карты одного достоинства.

(Иллюстрация 5)

Кент (стрит). Пять карт, образующие "плотность", но не одного цвета.

(Иллюстрация 6)

Доппер (два + два). Две пары карт одного достоинства (но не каре!).

(Иллюстрация 7)

Например, две девятки + две семерки. Некоторые из допперов имеют имена собственные. Так, два туза + два короля - "Бетон", а две восьмерки + две семерки - "Песок".

Двойка. Две карты одного достоинства.

(Иллюстрация 8)

Беспарье . Все остальные комбинации.

Между собой комбинации упорядочены следующим образом:

флеш-роял > каре > цвет > фул > тройка > кент > доппер > двойка > беспарье.

Опишем кратко техническую суть игры, например, между двумя участниками X и Y . Она включает в себя два этапа:

1. Раздача и торговля . Сначала игрокам раздается по пять карт (очевидно, в "усеченной" колоде остается на десять карт меньше). После этого игроки поочередно делают денежные ставки. Если ставки уравниваются (первый тур торгов), переходят к следующему этапу.

2. Мена и торговля . Каждый игрок по своему усмотрению может сбросить, не показывая сопернику, не более четырех своих карт и получить взамен столько же новых из "усеченной" колоды. После этого опять начинается поочередное повышение ставок. Если ставки уравниваются (второй тур торгов), карты открываются, и выигрывает тот, у кого сильнее карточная комбинация.

Основная проблема, с которой сталкиваются игроки X и Y , заключается в выяснении, "является ли его карточная комбинация более сильной". Отметим, что каждый игрок располагает знанием о своих сброшенных картах и своих картах на руках (всего не более девяти). Однако этого недостаточно для однозначного решения "основного вопроса", за исключением некоторых случаев. Например, если у игрока на руках "флеш-роял Ас", то ему, очевидно, некого бояться. В этой связи актуальна

Проблема. Какова самая слабая комбинация (с учетом сброшенных карт), с которой можно ничего не бояться?

При решении этой задачи полезно ввести понятие о так называемых проходных картах. Будем называть проходными картами игрока X объединение

сброшенных им карт + карты на руках, которые не участвуют в комбинации.

Данные карты никак не влияют на силу самой комбинации, однако могут доставлять ценную информацию. В частности, если игрок X имеет комбинацию каре королей и среди его проходных карт есть туз, то ему можно не опасаться каре тузов у соперника. В этом случае говорят, что туз игрока X блокирует каре тузов игрока Y . Разумеется, и сама комбинация - носитель полезных сведений о возможности наличия тех или иных комбинаций у соперника. Естествен но назвать полным набором карт игрока X объединение карт его комбинации с набором его проходных карт.

Перечислим карты определенной масти игрока X , которые ограничивают число возможных флеш-роялей (той же масти) у игрока Y :

а) 10 блокирует пять флеш-роялей (то есть все);

б) валет или 9, каждый в отдельности, блокируют четыре флеш-рояля;

в) дама или 8, каждая в отдельности, блокируют три флеш-рояля;

г) туз, король или 7, каждый в отдельности, блокируют два флеш-рояля.

Справедливо следующее

У т в е р ж д е н и е 1. Пусть у игрока X на руках находится каре десяток, а среди проходных карт находятся (В, Д, К, А). Тогда у игрока Y всегда оказывается более слабая комбинация.

В самом деле, у игрока Y не может быть комбинации старшего каре, поскольку {валет, дама, король, туз} находятся среди проходных карт X . Кроме того, каждый флеш-роял содержит карту десятку. Поскольку все десятки у игрока X , то у Y не может быть никакой комбинации флеш-роял.

Среди профессиональных игроков в покер бытует мнение, что утверждение 1 и есть правильное решение поставленной выше проблемы*. Однако с эстетической точки зрения представляется возможным усилить утверждение 1, поскольку в его формулировке используются лишь четыре (из пяти!) проходные карты. Покажем, что так действительно и обстоит дело. Назовем набор из четырех или пяти проходных карт "разномастным", если в нем представлены все четыре масти. Ниже используется информация о пяти проходных картах, и соответствующий результат является усилением предыдущего.

У т в е р ж д е н и е 2. Пусть у игрока X на руках находится каре девяток, а (10, В, Д, К, А) - проходные и "разномастные". Тогда у игрока Y оказывается более слабая комбинация.

В самом деле: у игрока Y не может быть комбинации старшего каре, поскольку (10, В, Д, К, А) находятся среди проходных карт. Теперь предположим, что у игрока Y есть комбинация флеш-роял. Поскольку все девятки у игрока X , то у него может быть только "флеш-роял Ас", то есть (A, К, Д, В, 10). Пусть, например, масть этой комбинации пика, тогда у игрока X заведомо не будет следующих пяти карт: П10, ПВ, ПД, ПК, ПА.

Значит, в наборе проходных карт игрока X пиковая масть не представлена. Но это противоречит условию "разномастности". Аналогичным образом устанавливается отсутствие у игрока Y комбинации флеш-роял и в других мастях. Поэтому в данной ситуации игроку X действительно нечего бояться.

Здесь возникает вопрос о возможности усиления данного результата **. Отрицательный ответ на данный вопрос содержится в следующем.

У т в е р ж д е н и е 3. Пусть у игрока X находится комбинация ниже каре девяток. Тогда у игрока Y может оказаться более сильная комбинация при любом наборе проходных карт игрока X.

В самом деле, рассмотрим последовательно возможные варианты покерных комбинаций (более слабых, чем каре девяток) на руках игрока X .

1) Каре восьмерок или каре семерок. Тогда при пяти проходных картах их явно не хватает, чтобы блокировать шесть более старших каре (от девятки до туза);

2) Цвет (например, пики). Несколько удивительно, что здесь у игрока X существует комбинация, которая в совокупности с четырьмя проходными картами блокирует все флеш-рояли и все каре у игрока Y . Например,

(ПA, ПК, ПД, П8, П7) + Т10 + Б10 + ЧВ, Ч9.

Приведем описание таких уникальных карточных конструкций одного цвета.

Во-первых, чтобы игроку X не бояться ни одного из каре соперника, ему необходимо иметь в полном наборе представителей от всех восьми каре. Следовательно, в полном наборе (из девяти карт) лишь одно "достоинство" встречается дважды (например, 10), а остальные представлены в одном экземпляре.

Во-вторых, чтобы игроку X не бояться ни одного из пятнадцати флеш-роялей (пяти в трефе + пяти в бубне + пяти в черве) противника, необходимо иметь во множестве четырех своих проходных карт две десятки, например П10 и Б10 + пара червей, которые совместными усилиями блокируют все червовые флеш-рояли. Отметим, что согласно предыдущему абзацу в этой червовой паре уже не может встречаться карта 10, поскольку она уже дважды используется в трефе и бубне. Поэтому полный перечень всех девяти "пар убийц " задается списком:

(A, 9); (К, 8); (К, 9); (Д, 7); (Д, 8); (Д, 9); (В, 7); (В, 8); (В, 9).

Легко сообразить, что общая конструкция (с точностью до перемены всех цветов) определяется следующим образом. Проходные карты:

Т10 + Б10 + "пара убийц" (черва).

А карточная комбинация - пиковый цвет - задается как разность множеств

{А, К, Д, В, 9, 8, 7} - "пара убийц" (в пиковом окрасе).

Теперь заметим, что полученная (и обязательная!) пиковая комбинация на руках игрока X всегда меньше следующей (и возможной!) комбинации (A, К, Д, В, 9) (трефа или бубна) игрока Y .

Разбор средних и низших комбинаций совсем прост, и его проведение предоставляем читателю.

Таким образом, каре девяток с подходящим набором проходных карт оказывается той самой слабейшей комбинацией ***.

В заключение заметим, что математические вопросы можно поставить, анализируя практически любую карточную игру. Так, для игры в "Подкидного дурака" сформулируем и решим следующие задачи:

З а д а ч а 1. Пусть играют двое. Покажите, что за конечное время игра заканчивается.

Р е ш е н и е. Обозначим через 2 n общее число карт, находящихся в игре. Далее будем рассуждать по индукции.

Если n = 1, то через один ход игра, очевидно, заканчивается.

Пусть для 2 ,..., 2 n конечность продолжительности игры установлена. Рассмотрим 2 n + 2. Возможны две ситуации:

а) один игрок все время "ходит", а другой принимает. Поскольку число карт конечно, игра заканчивается за конечное число ходов;

б) если второму игроку удалось отбиться, общее количество карт уменьшается на четное число и, в силу индукции, игра завершится за конечное время.

З а д а ч а 2. Пусть играют трое - X, Y и Z. Может ли игра продолжаться вечно?

Р е ш е н и е. Может. Так, пусть в какой-то момент времени у каждого игрока на руках оказались две карты, а именно:

игрок X имеет П6 и П7;

игрок Y имеет Т8 и Т9;

игрок Z имеет Б10 и БВ; козырь червы.

При таком выборе шести разных карт у игроков нет дополнительной возможности "подкидывать" карты отбивающемуся. Это обстоятельство упрощает анализ игры.

Пусть каждый игрок при своем ходе выступает с карты наибольшего достоинства. В таком случае ни одному из игроков не удается "отбиться", и тогда возникает бесконечный циклический процесс:

X ходит - Y принимает,

затем Z ходит - X принимает,

далее Y ходит - Z принимает, и все повторяется вновь до бесконечности.

См. в номере на ту же тему

Подробности для любознательных. Теория вероятностей и покер

Комментарии к статье

*"Некоторые это считают психическим заболеванием. Пусть так. Но это - такое заболевание, которое превыше всякого здоровья". (А. А. Зиновьев. Иди на Голгофу).

**"Можно назвать и другие, не менее веские доказательства, но это - самое веское". (Медников Б. М., Меншуткин В. В. Журнал общей биологии, 1977).

***".…так, наверное, анахореты радовались любому соблазну, с которым им предстояло сразиться. (Ана Бландина. Стихотворения, рассказы, эссе)".

 

Читайте в любое время

Портал журнала «Наука и жизнь» использует файлы cookie и рекомендательные технологии. Продолжая пользоваться порталом, вы соглашаетесь с хранением и использованием порталом и партнёрскими сайтами файлов cookie и рекомендательных технологий на вашем устройстве. Подробнее

Товар добавлен в корзину

Оформить заказ

или продолжить покупки