Можно ли, глядя на половинку апельсина, определить, чего в ней больше — кожуры или мякоти?

Наука и жизнь // Иллюстрации

Вопрос кажется странным, ведь кожура — это тонкий слой, край апельсина (будем считать, что апельсин имеет форму шара). Оказывается, что относительно тонкий слой на границе шара имеет тот же объём, что и вся остальная часть. Например, у апельсина диаметром 10 см с кожурой толщиной 1 см почти половина всего объёма сосредоточена в кожуре!

Давайте проверим. Рассмотрим два шара радиусов R и r (r<R). Каким должен быть радиус меньшего шара, чтобы его объём составлял половину объёма большого?

Объём шара радиуса R равен

Для нахождения r запишем уравнение:

V_r = V_R − V_r или

Отсюда следует, что R³ = 2r³, то есть

Таким образом, почти половина объёма шара сосредоточена в слое около поверхности толщиной всего лишь 1/5 радиуса, а в апельсине, представленном на рисунке, кожуры и мякоти поровну.

Поясним выбор формы уравнения V_r = V_R − V_r вместо естественного V_R = 2V_r. Это сделано, чтобы напомнить одну идею, часто встречающуюся в геометрии и полезную при решении житейских задач — фигура, для площади или объёма которой нет готовой формулы, представляется как разность «известных» фигур.

№12, 2015