Многогранная игра, или Как сделать ёжика из додекаэдра
Максим Абаев, Дмитрий Чинюкин
Что вы подумаете, если в глухом лесу увидите на земле квадрат, выложенный из палочек или камней?
Стремлением к симметричному, ровному особенно сильна геометрия, она изучает, в частности, такие фигуры, как правильные треугольники, правильные многоугольники и правильные многогранники. Ведь куб и вправду смотрится лучше, чем какой-то «неправильный» параллелепипед. А икосаэдр или додекаэдр просто не могут не вызвать тёплых чувств у поклонников стереометрии. О многогранниках, правильных и не очень, мы сегодня и поговорим.
Начнём с «плоского» примера, с правильного многоугольника. Это, как известно, выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы между смежными сторонами. Сколько может быть правильных многоугольников? Да бесконечно много, только по форме они будут всё больше и больше приближаться к окружности. Если вы захотите изобразить правильный тысячеугольник, то просто возьмите в руки циркуль и нарисуйте окружность.
А что будет, если от плоских фигур перейти к объёмным, например попытаться построить разные правильные многогранники?
Тут полёт фантазии придётся ограничить — больше пяти правильных многогранников создать никак не получится. (Кстати, вы можете попробовать самостоятельно доказать столь простую теорему.) Этот факт установили ещё древние греки. Евклид описал все пять правильных многогранников, а Платон использовал их для описания своего представления о строении Вселенной, именно поэтому пятёрку правильных многогранников — тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб и додекаэдр — называют «платоновы тела». Хотя некоторые из них, к примеру куб, были известны ещё за тысячу лет до древнегреческого мыслителя.
Ну а теперь самое интересное: как превратить додекаэдр в «ёжика»? Сначала нам придётся научиться строить звёздчатые формы многоугольников (рисунок внизу). Чтобы получить звёздчатый пятиугольник, нужно продолжить его стороны прямыми линиями до пересечения их друг с другом (новые области окрашены в синий цвет). Соединив между собой вершины звёздчатого пятиугольника, получим правильный пятиугольник (зелёный цвет). Такой процесс можно повторять бесконечное число раз, превращая пятиугольник в звезду и наоборот.
Применим ту же идею, но уже для объёмной фигуры: вместо продолжения линий будем продолжать плоскости граней. Линии пересечения этих плоскостей создадут рёбра нового многогранника. Для построения малого звёздчатого додекаэдра нужно построить правильную пятиугольную пирамиду на каждой грани исходного додекаэдра (рисунок в центре).
Проделав такую процедуру первый раз, мы получим так называемый малый звёздчатый додекаэдр. Его открыл в 1619 году Иоганн Кеплер. Многогранник представляет собой додекаэдр, на гранях которого построены двенадцать пятиугольных пирамид.
Не будем на этом останавливаться и, как в случае с плоским многоугольником, соединим вершины малого звёздчатого додекаэдра. У нас получится большой додекаэдр, честь открытия которого в 1809 году принадлежит Луи Пуансо. Кстати, головоломка, подобная кубику Рубика, — «звезда Александера» выполнена как раз в форме большого додекаэдра.
Продолжив построение подобным образом, получим многогранник с 20 лучами. Эта завершающая звёздчатая форма додекаэдра носит название «большой звёздчатый додекаэдр». Его тоже описал Иоганн Кеплер. Хотя стоит сказать, что подобные фигуры появились ещё до Кеплера, но полное математическое описание дал именно он. Эту фигуру можно назвать многогранным «ёжиком».
У додекаэдра всего три звёздчатые формы: малый звёздчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр. Если соединить вершины большого звёздчатого додекаэдра, то получится тот многогранник, с которого, собственно, и начались наши звёздчатые метаморфорзы, — обычный додекаэдр.
А что с «ёжиками» из других правильных многогранников? Два из нашей «великолепной пятёрки» — тетраэдр и куб — не имеют звёздчатых форм. Как бы вы ни пробовали продолжить грани этих объёмных фигур, ничего не получится. Октаэдру посчастливилось иметь только одну звёздчатую форму — так называемый звёздчатый октаэдр, или Stella octangula — звезда восьмиугольная. Изображение звёздчатого октаэдра, который, по сути, представляет собой два совмещённых тетраэдра, присутствует ещё в работах Леонардо да Винчи, но назвал эту фигуру именно так любитель многогранников Иоганн Кеплер. А вот икосаэдру в плане «звёздности» повезло — у него число звёздчатых форм больше, чем сумма этих форм у всех остальных его правильных многогранных собратьев, — целых 59! Перечислять все мы не будем, ограничимся лишь первой звёздчатой формой.
Красивые звёздчатые многогранники не встречаются в природе, но создать их модели вполне под силу любому школьнику, и бумага здесь — идеальный материал. Разрабатывать развёртку многогранника самому увлекательное, но трудоёмкое занятие, проще воспользоваться специальным конструктором «Волшебные грани». Выбор – 16 интереснейших моделей. Каждый набор содержит комплект деталей из лакированного цветного картона, уже вырезанных и подогнутых. Используя клей и инструкцию, можно создать свою занимательную коллекцию геометрических тел.
Читайте в любое время
