Нетранзитивность превосходства: продолжение темы
Доктор психологических наук Александр Поддьяков, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Что вероятнее — погибнуть в челюстях акулы, плавая неподалёку от пляжа, или под руинами дома, на который упал самолёт?
Большинство участников исследования ответили, что вероятнее стать жертвой акулы. На самом же деле вероятность погибнуть под упавшим самолётом в 30 раз больше — даже в США с их длинными побережьями, где купание не запрещено.
С помощью опросов и строгих экспериментов в работах Канемана и Тверски доказывается следующее. Правила оценивания ситуаций, которыми мы пользуемся (в том числе для оценки вероятности), достаточно хороши, чтобы мы были в основном адаптированы к миру. Но при этом есть семейства случаев, где эти правила дают систематические сбои — мы удивительным образом ошибаемся, переоценивая или недооценивая ситуацию.
Одно из таких семейств — случаи нетранзитивности превосходства (или доминирования). В статье «Правило транзитивности против нетранзитивности выбора» («Наука и жизнь» № 3, 2017 г.) рассказывалось о том, что существует достаточно много биологических, технических, социальных объектов и систем, взаимодействия между которыми подчиняются принципу нетранзитивности — или же принципу известной игры «камень — ножницы — бумага», когда первый объект бьёт второй, второй объект бьёт третий, но третий объект бьёт первый. Так, существуют тройки биологических видов, в которых один вид вытесняет второй, тот вытесняет третий, а третий — первый. При голосовании людей на выборах случаются ситуации, когда большинство избирателей предпочитают кандидата А кандидату В, кандидата В — кандидату С, а кандидата С — кандидату А (притом что каждый отдельный избиратель действует последовательно и логично).
Это примеры достаточно понятные, но есть и другие — парадоксальные, контринтуитивные, в которые трудно поверить, пока не возьмёшься разбираться. К парадоксальным примерам относятся, скажем, нетранзитивные игральные кубики (кости Эфрона), ставшие объектом многочисленных математических исследований и копирования для продаж в магазинах головоломок. Числа на этих кубиках таковы, что при попарных бросаниях первый кубик чаще выигрывает у второго (чаще показывает на верхней грани большее число, чем второй), второй кубик чаще выигрывает у третьего, а третий — у первого. Причём таких наборов, входящих в «бойцовский клуб игральных кубиков» (удачное название российского психолога В. А. Петровского), можно создать бесконечное количество, и среди них встречаются свои, с ещё более парадоксальными свойствами.
Как писал Мартин Гарднер, нетранзитивные кости «позволяют глубже осознать значение недавних открытий, связанных с общим классом вероятностных парадоксов, в которых нарушается правило транзитивности. С помощью любого из этих наборов игральных костей вы можете держать пари в условиях, настолько противоречащих интуиции, что опытные игроки почти не в состоянии разобраться в них, даже если они полностью проанализируют ход игры» (Гарднер М. Крестики-нолики. — М.: Мир, 1988. — C. 63—66).
Во что люди склонны верить (правильно или ошибочно) и во что они не верят при столкновении с ситуациями нетранзитивности превосходства? Это важный вопрос, ведь такого типа случаи противоречат «школьно» усвоенному правилу транзитивности: если первое больше второго, второе больше третьего, то первое больше третьего (если 5 > 4 и 4 > 3, то 5 > 3). Более широкий вопрос — как люди познают и понимают системы и объекты, находящиеся в нетранзитивных отношениях превосходства? Какие модели и средства можно использовать, чтобы расширить и углубить это понимание? Попытаемся ответить на часть этих вопросов.
Эксперимент: «допускаете ли вы, что…»
Автор данной статьи провёл психологический эксперимент, участникам которого задали ряд вопросов на понимание принципа нетранзитивности*.
Например, такой:
«Есть три шахматных компьютера, играющих друг с другом в шахматы. Известно, что 1-й компьютер чаще выигрывает у 2-го, чем проигрывает ему. 2-й компьютер чаще выигрывает у 3-го, чем проигрывает ему. Может ли быть так, что при этом 3-й компьютер чаще выигрывает у 1-го, чем проигрывает ему?» Варианты ответов: «да, может»; «нет, не может»; «затрудняюсь ответить».
Правильный ответ: да, может. Причиной этого явления (о которой большинство участников — обычных людей, естественно, не знало) могут быть нетранзитивные наборы коэффициентов: в каждой шахматной программе имеется свой набор коэффициентов, используемых для оценки ходов и позиций, и эти наборы у разных программ могут находиться друг с другом примерно в тех же отношениях, что числа на гранях нетранзитивных костей**. В наборе таких костей первый игральный кубик чаще показывает на верхней грани большее число, чем второй (чаще выигрывает у него); второй чаще выигрывает у третьего, а третий — у первого.
Задавались и другие вопросы на понимание этого принципа.
Оказалось, что абсолютное большинство участников считает возможными ситуации нетранзитивности превосходства в биологии, когда микроорганизмы одного вида вытесняются с занятой территории микроорганизмами второго вида, микроорганизмы второго вида вытесняются с занятой территории микроорганизмами третьего вида, а микроорганизмы третьего вида затем вытесняются с занятой территории микроорганизмами первого вида. Также люди очень верят (и справедливо) в нетранзитивность спортивной силы команд: в то, что одна команда борцов может победить другую по соотношению индивидуальных побед (то есть борцы первой команды одержат в турнире больше побед над борцами второй, чем потерпят от них поражений); вторая команда может победить третью по этому критерию, а третья команда — первую.
Зато лишь меньшинство допускает такую ситуацию, когда карандаши из одного набора при попарных сравнениях длин (каждый карандаш одного набора сравниваем с каждым карандашом другого набора) чаще оказываются длиннее карандашей из второго набора; карандаши из второго набора чаще оказываются длиннее карандашей из третьего набора; а карандаши из третьего набора чаще оказываются длиннее карандашей из первого набора. На самом деле это возможно, например, если карандаши имеют то же соотношение длин, что соотношение чисел на гранях нетранзитивных кубиков. Отношение «чаще оказываться длиннее» нетранзитивно — и это почему-то сложнее понять, чем нетранзитивность отношения «чаще оказываться сильнее» в случае попарных встреч борцов из разных команд.
Продолжение эксперимента: «А теперь допускаете?»
Чтобы выяснить, можно ли дать людям какую-то наводку, косвенную подсказку, помогающую прояснить отношения нетранзитивности, был использован следующий методический приём. После того как участник ответил на все вопросы, ему показывали игрушечные гуляй-башни — сделанные из пластмассы параллелепипеды с вырезанными передними фигурными профилями и вставленными в отверстия цветными маркерами, оставляющими след на другом предмете.
Можно видеть, что при попарных «схватках-столкновениях» гуляй-башня с красным маркером ставит метку на гуляй-башне с зелёным маркером, оставаясь для той неуязвимой (зелёный маркер не может дотянуться до корпуса «соперницы» — на уровне красного маркера в её корпусе углубление). Аналогично гуляй-башня с зелёным маркером может поставить метку на гуляй-башне с синим маркером (но не наоборот), а гуляй-башня с синим маркером может поставить метку на гуляй-башне с красным маркером (но не наоборот).
Таким образом, эти гуляй-башни моделируют принцип нетранзитивности превосходства. Они также визуализируют обобщённую модель «нападение — защита — уязвимые места», применимую при анализе не только соревнований «Битвы роботов», а и многих взаимодействий вообще — биологических, психологических и др. Но участникам эксперимента ничего этого не говорилось, просто после ответов на вопросы им показывали и предлагали для самостоятельного обследования гуляй-башни, и люди видели, что такого типа объекты действительно существуют.
Затем участникам снова предлагали ответить на те же вопросы, что раньше, «чтобы подтвердить, что оценки остались прежними, или, наоборот, в чём-то изменить их». Повторные вопросы были оформлены как продолжение бланка (то есть участник заполнял опросник как бы набело).
Оказалось, что после знакомства с «нетранзитивными» гуляй-башнями статистически значимо выросла доля правильных ответов участников о возможности нетранзитивности превосходства: люди поправили значительную часть своих ответов, относящихся к весьма разным областям, ответив «да, такое возможно».
При этом очень важно, что у участников не произошло неадекватного сверхобобщения, они по-прежнему правильно отвечали на контрольные вопросы типа: «Есть три прямых, жёстких, недеформируемых стержня. Они разной длины: 1-й стержень длиннее 2-го, 2-й стержень длиннее 3-го. Может ли при этом 3-й стержень быть длиннее 1-го?», «Есть три предмета разной массы. Масса каждого предмета неизменна. Масса 1-го предмета больше массы 2-го предмета; масса 2-го предмета больше массы 3-го. Может ли при этом масса 3-го предмета быть больше массы 1-го?» (правильный ответ в обоих случаях «нет»).
Итак, нетранзитивные гуляй-башни оказались весьма неплохой косвенной подсказкой.
Но интересно, что не все нетранзитивные объекты обладают этой способностью помогать общему пониманию нетранзитивности. Например, в другой экспериментальной серии другим участникам вместо гуляй-башен показывался набор пластмассовых нетранзитивных шестерён (при попарных соединениях первая вращается быстрее второй, вторая — быстрее третьей, третья — быстрее первой).
Изначально существование таких шестерён допускала только треть участников, большинство же в них не верило. А вот после их показа утвердительно ответили на вопрос о возможности их существования практически все участники (за исключением двух человек, которые, похоже, сочли демонстрацию фокусом: настолько существование нетранзитивных шестерён противоречит повседневному опыту). При этом такое впечатляющее вроде бы знакомство с нетранзитивными шестернями (до показа в них не верило абсолютное большинство, после — поверили почти все) удивительно мало повлияло на изменение суждений участников о возможности нетранзитивности в других областях: люди почти не стали менять свои ответы на другие вопросы — в отличие от экспериментальной серии, в которой участникам в качестве косвенной подсказки показывали гуляй-башни и где они после этого изменили значительную часть своих ответов.
Это объяснимо: если принцип взаимодействия нетранзитивных гуляй-башен кажется применимым к разным областям, этого совершенно нельзя сказать про достаточно экзотические нетранзитивные шестерни — обычному участнику непонятно, что ещё могло бы работать по такому принципу. Шестерни оказались более экзотичны и менее эвристичны, чем гуляй-башни.
Итак, можно сказать, что одна представленная участникам модель (гуляй-башни) обладала большей «эвристической силой» в отношении положительного влияния на понимание нетранзитивных отношений превосходства, чем другая (нетранзитивные шестерни).
Остановимся на этом подробнее.
Эвристика и эвристические средства
Под эвристикой в широком смысле со времён чешского философа, логика и математика Бернарда Больцано (1781—1848) понимается наука о творчестве, искусстве открытия. Само слово «эвристика» происходит от древнегреческого «отыскиваю», «открываю»; все знают однокоренное «Эврика!» («Нашёл!») по легенде об Архимеде.
В более узком и утилитарном смысле под эвристическими средствами решения задач понимают правила, модели, алгоритмы и др., повышающие вероятность правильного решения. В описанном эксперименте люди, поглядев на пластмассовые штуковины со вставленными маркерами (а как их иначе назвать на житейском уровне?), стали правильно изменять часть своих ответов о других системах, которые внешне совершенно не похожи на эти пластмассовые объекты. (Значительную часть, но не все ответы, — эвристические средства повышают вероятность нахождения решения, но не гарантируют его.) Рост числа правильных ответов после знакомства с нетранзитивными гуляй-башнями означает, что эти объекты выступили «рычагом», подсказкой, эвристическим средством, помогающим решению.
Диалог исследователей часто включает обмен эвристиками. Прочитав вышеупомянутую статью о нетранзитивности в журнале «Наука и жизнь» с описанием нетранзитивных шахматных позиций, специалист по теории игр, заведующий кафедрой математической экономики ИГУ А. Ю. Филатов, отталкиваясь от приведённого простого (даже грубого — для наглядности) примера, предложил новые способы рассуждения. Они позволили
изящно доказать, что число таких позиций в шахматах астрономически велико. Также он изобрёл комбинацию из четырёх нетранзитивных позиций, каждая из которых включает только по королю и пешке со стороны белых и со стороны чёрных. Красивая симметрия этого минималистского решения позволяет назвать его по имени её автора — «бабочка Филатова». Предложенные композиции и сформулированные способы их построения — это и эвристические средства постановки и решения новых задач (см. статью «Нетранзитивные позиции в шахматах»).
Изучение транзитивности — нетранзитивности хорошо иллюстрирует проблему побочных результатов деятельности человека по созданию сложных систем (сформулированное знание о таких эффектах — тоже эвристическое средство). Задумаемся: никто изначально не стремился к созданию возможностей для построения нетранзитивных шахматных позиций (в том числе цепочек, астрономических по длине) — это неочевидное свойство возникло как незапланированный результат созданной человеком сложности среды. Долгое время оно оставалось неизвестным — ни в списках примеров нетранзитивности, ни в текстах о шахматах анализ (или же просто констатация существования) нетранзитивных шахматных позиций не обнаруживается. В случае искусственной интеллектуальной игры это представляет познавательный, гносеологический интерес. В других случаях (например, вмешательств в экосистемы путём внедрения чем-то полезного вида или выведения вредных, организации социальных взаимодействий и пр.) возникшие новые, ранее не существовавшие в прежней системе цепочки типа «камень — ножницы — бумага» могут вести к очень разным не планировавшимся последствиям.
Заключение: метафора неевклидовой геометрии
Один из наиболее известных исследователей в области принятия решений, награждённый Теоретической премией фон Неймана Питер Фишберн (Peter Fishburn) считает, что движение в направлении исследования нетранзитивности аналогично движению от евклидовой геометрии к неевклидовой и отказу от ньютонианской модели мира как абсолютной. Соглашаясь с этим сравнением, можно сделать следующий шаг: заняться изучением научного, социокультурного (в разных обществах) и индивидуально-психологического развития понимания транзитивности — нетранзитивности, а также поисками новых фактов и закономерностей нетранзитивности. Метафора неевклидовой геометрии эвристична: она побуждает искать новые идеи, ставить новые вопросы и находить необычные решения.
Комментарии к статье
* Поддьяков А. Н. Изменение представлений о непереходности превосходства под влиянием ознакомления с «нетранзитивными» объектами // Современная экспериментальная психология: В 2 т. / Под ред. В. А. Барабанщикова. — М.: Изд-во «Институт психологии РАН», 2011. — Т. 2. — С. 193—205.
** Мельников Б. Ф. Эвристики в программировании недетерминированных игр // Известия РАН. Программирование. — 2001. — № 5. — С. 63—80.
Статьи по теме
Читайте в любое время
