В обычной жизни мы привыкли к выполнению свойства транзитивности

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

Рис. 6. «Бабочка Филатова» — зеркально симметричные нетранзитивные позиции.

Однако в игровых видах спорта бывают и иные ситуации. Наверное, все слышали о «неудобных» соперниках — объективно более слабых командах или игроках, которые тем не менее почему-то систематически одерживают победу над куда более именитыми соперниками. Более того, из таких пар можно создавать нетранзитивные цепочки A > B > C > … > A.

А в некоторых играх, например в шахматах, можно расширить спектр примеров нетранзитивности превосходства нетранзитивностью позиций. Речь идёт о том, что позиция A белых предпочтительнее позиции B чёрных (при возможности выбора за белых или за чёрных надо выбрать A), позиция B чёрных предпочтительнее позиции C белых, позиция C белых предпочтительнее позиции D чёрных, но позиция D чёрных предпочтительнее позиции A белых. Возможность такого парадоксального положения дел была показана в статье Александра Поддьякова «Правило транзитивности против нетранзитивности выбора» (см. «Наука и жизнь» № 3, 2017 г.). Там же было поставлено несколько вопросов, касающихся этого ранее не изучавшегося свойства шахматной игровой среды.

Первый вопрос касался удлинения цепочек нетранзитивных позиций — какова максимальная длина такой цепочки, сколь много позиций в ней может быть «звеньями»?

Отвечая на него, можно предложить следующий принцип построения длинных цепочек. Как и ранее, белые начинают во всех позициях — в соответствии с рекомендациями по шахматной композиции и для исключения тривиальных решений*.

В нечётных позициях у белых при своём ходе должна быть неотразимая матовая угроза, при этом значительное материальное преимущество чёрных должно при отсутствии форсированного мата давать им победу в чётных позициях. Приведём следующее развитие позиции А—В (рис. 1).

Проверим попарные наложения этих позиций на одну доску с целью определения предпочтительности выбора игры за ту или за другую сторону. Можно видеть, что А предпочтительнее В, В предпочтительнее С и т. д.

Опишем, как была построена эта цепочка из восьми (пока) позиций.

В качестве первых двух позиций взяты первые две из исходной цепочки, описанной в статье в «Науке и жизни» с добавлением в расположение В чёрного слона на a4. В паре A—B белые съедают этого слона ладьёй, одновременно объявляя мат, подобно исходной журнальной публикации. Таким образом, белые в позиции A выигрывают у чёрных в позиции B (рис. 2).

В каждой следующей позиции белых ладья смещается на горизонталь ниже, пока не доходит до самой нижней. Вслед за ладьёй в каждой следующей позиции чёрных слон тоже смещается на горизонталь ниже, пока не доходит до самой нижней.

Получается следующее. В паре B—C белая ладья уже не может поставить мат одним ходом, как в паре A—B (чёрный слон защищает вертикаль от непосредственной атаки). А поскольку у чёрных существенное материальное преимущество, белых не спасает и собственный первый ход. Таким образом, чёрные в позиции B выигрывают у белых в позиции C.

Но в следующей позиции D чёрный слон, сместившийся на горизонталь ниже, опять оказывается под ударом белой ладьи — и снова белые ставят мат в один ход. Затем белая ладья опять смещается на горизонталь ниже, теряя возможность поставить мат в один ход, и т. д. Что особенно важно, в паре A—H побеждают чёрные, поскольку белым поставлен шах и они уже не могут поставить мат на a4, теряют темп и проигрывают. Итак, мы получили цепочку длины 8.

Приведённая цепочка из восьми нетранзитивных шахматных позиций далеко не самая длинная. Можно добавить со стороны белых или чёрных (или и тех и других) какую-нибудь фланговую пешку либо фигуру, не влияющую на результат. Далее можно её передвинуть на другое поле и повторить всё заново, затем добавить ещё одну фигуру или пешку, третью, четвёртую и т. д.

Например, добавим к каждой позиции чёрных пешку на h7, получая расположения В1, D1, F1, H1 (рис. 3).

Получим нетранзитивную цепочку из 16 позиций А>B>C>D>E>F>G>H1>A>

B1>C>D1>E>F1>G>H>A.

Вводим теперь позиции В2, D2, F2, H2, добавляя чёрную пешку не на h7, а на h6, и получаем цепочку длиннее (из 24 позиций):

А>B>C>D>E>F>G>H1>A>B1>C>D1> E>F1>G>H2>A>B2>C>D2>E>F2>G>H>A.

То же самое можно делать со стороны белых.

Добавим к каждой позиции белых пешку на h2, получая расположения A1, C1, E1, G1. Тогда выстраивается ещё более длинная цепочка — из 32 позиций:

А>B>C>D>E>F>G>H1>A>B1>C> D1>E>F1>G>H2>A>B2>C>D2>E>F2> G>H>A1>B2>C1>D2>E1>F2>G1>H>А.

Очевидно, что эти механизмы изменения положения фигур, непосредственно влияющих на исход (белой ладьи и чёрного слона в данном случае), и фигур дополнительных, на результат не влияющих, накладываясь друг на друга, приводят к так называемому комбинаторному взрыву. Они позволяют увеличить общую длину цепочки даже не до сотен и тысяч, а до миллионов, миллиардов и триллионов (дополнительных фигур может быть много, и ставить их можно в разных сочетаниях в разные места). Верхний предел почти не ограничен — он вполне сопоставим с числом позиций на шахматной доске. Таким образом, вопрос о практическом построении наидлиннейшей цепочки оказался не конструктивен в математическом смысле и не особенно интересен: теперь, когда мы знаем, как такие длинные цепочки можно строить и что они при этом могут получаться астрономической длины, нет особого смысла изобретать самую длинную вообще или даже просто самую длинную, известную на текущий момент, — если только человек не относится к исследователям, постоянно рассчитывающим и удлиняющим количество знаков после запятой в их заведомо бесконечных последовательностях в числах π и e.

В целях тренировки шахматного мышления или удовлетворения шахматного любопытства можно изобретать цепочки той или иной обозримой длины, интересные в том или ином отношении — принципом построения, использованием необычного шахматного приёма, геометрической красотой результата и т. д.

Второй вопрос касался минимально возможного количества фигур в каждой из нетранзитивных позиций. В отличие от вопроса о самой длинной цепочке эта задача имеет совершенно конкретное решение. А именно, нетранзитивные шахматные позиции могут включать только по две фигуры — по королю и пешке с каждой стороны (рис. 4).

Этот минималистский набор, меньше которого уже ничего быть не может, возможно, оценили бы и в Древней Индии, где шахматы возникли. В нём используется приём превращения слабейшей фигуры в сильнейшую — пешки в ферзя. Две позиции белых и две позиции чёрных при этом зеркально симметричны, что придаёт происходящему на доске особую красоту.

Проверим попарные наложения этих позиций на одну доску с целью определения предпочтительности выбора игры за ту или за другую сторону (рис. 5).

В паре A—B белые проводят пешку в ферзи и следующим ходом съедают пешку чёрных на а2. Таким образом, белые в позиции A выигрывают у чёрных в позиции B.

В паре B—C, если белые проводят пешку в ферзи первыми, следует a1Ф+ с последующей потерей ферзя; если же белые уводят короля из-под шаха, следует а1Ф и чёрные контролируют поле h8. Следовательно, чёрные в позиции B выигрывают у белых в позиции C, несмотря на то что первый ход белых.

В паре C—D белые подобно А—В проводят пешку в ферзи и следующим ходом съедают пешку чёрных на h2.

Пара D—А подобна паре В—С: если белые проводят пешку в ферзи первыми, следует h1Ф+ с последующей потерей ферзя; если же белые уводят короля из-под шаха, следует h1Ф и чёрные контролируют поле a8. Таким образом, D предпочтительнее A, и круг замкнулся.

Чтобы сделать симметрию позиций нагляднее, разместим их не в линию, как было сделано для удобства просмотра их последовательности, а в матрице 2х2 (рис. 6). Можно видеть, что левые и правые позиции в верхнем и нижнем ряду зеркально симметричны, узор в целом напоминает бабочку.

Это первое решение, демонстрирующее возможность симметричного расположения фигур в нетранзитивных шахматных позициях (данная возможность лишь постулировалась, но доказательства не имела).

Констатируя это комплексное принципиальное продвижение, надеюсь на диалог по теме нетранзитивности с заинтересованными любителями, мастерами и теоретиками не только шахмат, но и шашек, го и других логических игр.

Комментарии к статье

* Другой вариант «кто выбирает цвет, тот первым и ходит» упрощает конструирование нетранзитивных позиций. Более того, даже одна позиция может быть нетранзитивной: при ходе белых A лучше B, но при этом B лучше A при ходе чёрных. Такое часто бывает и в реальных партиях, например при взаимных матовых угрозах. Когда чёрные всегда ходят вторыми, для них надо придумать какую-то компенсацию этого (например, серьёзный численный перевес), а потом какую-то компенсацию этого перевеса чёрных для следующей позиции белых и т. д., что усложняет задачу создания нетранзитивной цепочки побед.

Статьи по теме

• Нетранзитивность превосходства: продолжение темы

№7, 2017