Причудливый полёт мяча
Кандидат физико-математических наук Алексей Понятов
Каждый, кто играл в футбол или наблюдал за ним, знает, какие подчас замысловатые финты способен выкинуть мяч в воздухе.
Казалось бы, что может быть проще шара? Однако каждый, кто играл в футбол или наблюдал за ним, знает, какие подчас замысловатые финты способен выкинуть мяч в воздухе, по каким невероятным траекториям он может двигаться по воле умелого игрока. Чтобы вскрыть причины этой «замысловатости», обратимся к аэродинамике — науке, описывающей движения газов и тел в них.
Полёт без вращения
Совсем не прост даже простой полёт мяча без вращения. Дело в том, что при обтекании движущегося мяча воздухом его пограничный слой, прилегающий к поверхности мяча, как бы прилипает к ней, а в некоторый момент срывается, создавая завихрения, турбулентность. В результате за мячом образуется целая область вихрей, турбулентный след. В воздухе он не заметен, но аналогичные вихри можно увидеть в воде за кормой лодки при её быстром движении.
Давление газа на мяч в турбулентной области меньше, чем перед мячом. Из-за этого образуется разность давлений, которая дополнительно к обычному сопротивлению воздуха значительно тормозит мяч. Как говорят специалисты, увеличивает лобовое сопротивление.
Гораздо интересней другое. При малой скорости движения поток воздуха обтекает мяч почти без перемешивания, физики называют такой поток ламинарным. Лобовое сопротивление, создаваемое воздухом, при этом велико. Но если скорость мяча возрастает выше определённой величины, поток становится турбулентным, точка отрыва вихрей смещается дальше назад, а турбулентный след становится значительно уже. В результате сопротивление резко падает. Конкретное значение критической скорости зависит от конструкции поверхности мяча. Так, для мяча «Teamgeist», которым играли на чемпионате мира в Германии 2006 года, она составляла примерно 70 км/ч (20 м/с).
Если мяч, летящий сначала с большой скоростью, во время полёта затормозит о воздух до скорости меньше критической, то его обтекание воздухом перейдёт из турбулентного режима в ламинарный. В этот момент произойдёт сильное увеличение лобового сопротивления и мяч резко затормозит, продолжая падать под действием силы тяжести. Со стороны будет казаться, что мяч «нырнул». Очень неприятная ситуация для вратаря! Правда, от бьющего игрока требуется искусство сообщить мячу именно необходимую скорость. Если она будет слишком велика, то мяч просто не успеет затормозить до критического значения скорости.
У бейсболистов подобный коварный бросок получил название «наклбол» (от англ. knuckleball — мяч, стукнутый костяшками пальцев). Питчер бросает мяч почти без вращения кончиками пальцев. Если скорость выбрана правильно, то мяч перед отбивающим игроком в последний момент внезапно нырнёт, или, как говорят спортсмены, свалится.
А есть и ещё одно любопытное следствие турбулентности. Вихри с разных сторон мяча отрываются неодновременно и в разных точках, положение которых зависит от свойств поверхности, в первую очередь от количества и формы швов, соединяющих части оболочки мяча. Сильно влияют также отличие формы мяча от круглой (правила FIFA допускают отклонения от идеально круглой формы до 1,5%) и его небольшое вращение, а у старых мячей — наличие клапана. В результате при небольшой скорости мяч начинает вилять в воздухе из стороны в сторону. Этот эффект легко заметить на лёгком надувном пляжном мяче или на привязанном воздушном шарике, который обдувается ветерком. Бразильцы образно называют виляющий удар «pombo sem asa» — «голубь без крыла», имея в виду, что мяч в полёте вдруг дёргается в сторону, как птица, пытающаяся взмахнуть одним крылом. В футболе мяч, как правило, не успевает вильнуть более одного раза.
Говорят, что в старые времена были умельцы, которые располагали перед ударом мяч с клапаном в определённом положении, чтобы гарантированно добиться подобного результата. Современные симметричные и гладкие мячи более предсказуемы, зато летят быстрее.
Кстати, поочерёдный отрыв вихрей с разных сторон раскачивает при обтекании ветром и более массивные объекты вроде промышленных труб и небоскрёбов. При этом вихри образуют за объектом цепочку, называемую дорожкой Кармана (в честь физика Теодора фон Кармана).
Здесь возникает любопытный парадокс. На первый взгляд кажется, что, чем более гладким будет футбольный мяч, тем лучше. Видимо, так же думали и дизайнеры фирмы Adidas, когда в 2006 году отказались от верно прослужившей почти 40 лет классической оболочки мяча, состоящей из 32 панелей пятиугольной и шестиугольной формы*. Новый мяч «Teamgeist» имел всего 14 панелей сложной формы, соединённых методом термосклейки. Это упростило процесс производства и сделало мяч более круглым и гладким, уменьшив периметр швов на 15% (345 см против 405 см). Но не обрадовало игроков, жаловавшихся на непредсказуемость мяча. В чём же дело?
Оказывается, швы способствуют образованию пограничного слоя и более позднему отрыву вихрей. А вот на гладкой поверхности нового мяча пограничный слой держался хуже и вихри срывались слишком рано, приводя к непредсказуемой траектории полёта почти невращающегося мяча.
К следующему чемпионату мира 2010 года в ЮАР конструкторы Adidas попытались исправиться. Оболочка их нового мяча «Jabulani» состояла даже из меньшего числа частей — всего из восьми, причём впервые трёхмерных. Но дизайнеры компенсировали излишнюю гладкость мяча специальными бороздками на его поверхности. Они назвали эту технологию Grip’n’Groove (захватывающие выемки). Эти бороздки должны были удерживать пограничный слой, стабилизировать полёт, избавив его от случайных отклонений, и уменьшать лобовое сопротивление, чтобы мяч летел быстрее и дальше. Однако технология не полностью оправдала ожидания и критики было много.
На чемпионате мира 2014 года в Бразилии использовался мяч «Brazuca», состоящий из 6 панелей сложной формы с более глубокими швами. На этот раз нареканий удалось избежать. Будем надеяться, что мяч «Tel-star-18», разработанный к чемпионату мира в России 2018 года, окажется удачным.
Вращающийся мяч
Ударом футболист способен придать мячу вращение различной силы и вокруг осей, по-разному ориентированных в пространстве. Сильное вращение мяча стабилизирует поток воздуха вокруг него и, следовательно, траекторию полёта. Но на мяч начинает действовать ещё одна сила, получившая название «эффект Магнуса», по имени немецкого физика Генриха Магнуса, который открыл его в 1852 году, занявшись вопросом отклонения снарядов огнестрельного оружия (отклонение вбок пушечных ядер заметили в XVII веке). Впрочем, ещё в 1672 году Исаак Ньютон, наблюдая за теннисистами в Кембридже, описал эту силу и правильно определил её причину. Величину силы можно найти по теореме, выведенной в 1904 году российским механиком, основоположником аэродинамики Николаем Егоровичем Жуковским.
Вращающийся мяч увлекает вокруг себя воздух, создавая вихрь. При его полёте с одной стороны направление движения вихря совпадает с направлением обтекающего мяч воздуха, и скорость потока там увеличивается, а с другой — противоположно, и скорость уменьшается. Из закона Бернулли следует, что при увеличении скорости давление падает. Из-за этой разности скоростей возникает разность давлений, которая порождает силу, направленную перпендикулярно оси вращения и траектории полёта в сторону, где скорость потока выше. Смещается вбок и турбулентный след, внося свой вклад.
Таким образом, закручивая мяч в разные стороны, можно добиться изгиба траектории. Вратари, выбивая мяч, придают ему обратное вращение (ось горизонтальна, нижняя часть мяча движется от вратаря). В этом случае сила Магнуса представляет собой подъёмную силу, увеличивающую дальность полёта мяча. При штрафном ударе, перекидывая стенку, наоборот, стоит придать мячу верхнее вращение. Тогда, перелетев стенку, мяч быстро опустится вниз. Правда, таким ударом с земли владеют немногие.
Боковое вращение (ось вертикальна) заставит мяч пойти по дуге вправо или влево. Причём сразу после удара, пока скорость велика, благодаря турбулентному потоку вокруг мяча и малому лобовому сопротивлению мяч будет двигаться почти по прямой. При одной и той же скорости вращения на медленно летящий мяч действует бóльшая отклоняющая сила, чем на быстро движущийся мяч. Поэтому по мере замедления полёта мяча влияние эффекта Магнуса будет проявляться сильнее и изгиб траектории станет заметнее. Со стороны это выглядит так: сначала мяч летит прямо, а затем сворачивает.
Оценки показывают, что при скорости мяча 30 м/с и частоте вращения 10 об/с сила Магнуса на футбольный мяч составит около 3,5 Н. При массе мяча 450 г его ускорение будет примерно 8 м/с2. Пролетев за 1 секунду около 30 метров, такой мяч отклонится от прямой линии на целых 4 метра!
В интернете можно найти много видео с подобными ударами. Пожалуй, самый известный из них — штрафной удар бразильца Роберто Карлоса в матче с Францией в 1997 году. Карлос, обладавший очень сильным ударом, пустил мяч с расстояния 35 м со скоростью около 40 м/с (137 км/ч), закрутив его против часовой стрелки. Первый десяток метров мяч летел по прямой мимо установленной стенки и ворот, так что вратарь французов даже не сдвинулся с места, а мальчик, подбирающий мячи, который стоял в нескольких метрах от ворот, наоборот, пригнулся. Но затем скорость мяча снизилась настолько, что он перешёл в ламинарный режим. Значительно возросшая сила сопротивления замедлила полёт мяча и сделала значимым искривление траектории мяча эффектом Магнуса. Мяч повернул влево и попал в ворота под изумлённым взглядом вратаря.
Ещё один знаменитый удар, связанный с эффектом Магнуса, получил название «сухой лист». Исполняя его, футболист сообщает мячу вращение вокруг наклонной оси, что приводит к движению мяча по сложной траектории. Как правило, его использовали при подаче угловых, когда забить гол прямым ударом невозможно. При подаче углового «сухим листом» мяч сначала уходит вверх, перелетая игроков, и в сторону от ворот, а потом возвращается и в самом конце резко падает вниз за спину вратарю.
Физика ошибается, или Как бить по мячу?
И напоследок один маленький парадокс, показывающий опасность узкого взгляда на ситуацию. Каждый школьник старших классов из уроков физики знает, что, для того чтобы тело, брошенное под углом к горизонту, пролетело наибольшее расстояние, угол должен быть 45о или близким к нему при учёте сопротивления воздуха. Однако наблюдения за футболистами показывают, что у них наибольшая дальность полёта мяча достигается при углах от 20 до 35 градусов. Неужели физика ошибается?
Вовсе нет! Всё дело, оказывается, в том, что анатомия человека не позволяет ему нанести сильный удар так, чтобы мяч полетел с земли под углом 45о. Техника удара футболиста по мячу такова, что самый сильный удар, сообщающий мячу наибольшую скорость при достаточно большом угле вылета, как раз и приходится на указанный интервал углов. Несмотря на меньший угол, такая скорость обеспечивает бóльшую дальность полёта мяча, чем слабый удар, но под углом 45о.
***
Математические досуги. Возвращаясь к напечатанному
Сколько лет футболисту?
Средний возраст 11 футболистов команды — 22 года. Во время игры один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет футболисту, ушедшему с поля?
Футбольная арифметика
В первом матче футболисты «Звёздочки» забили в ворота противника половину мячей, забитых ими во втором матче, и ещё один мяч. Во втором матче они забили вдвое меньше мячей, чем в третьем матче, и ещё один мяч. В третьем матче они забили вдвое меньше мячей, чем в первом, и ещё один мяч. Сколько же всего мячей забили футболисты «Звёздочки» за три матча?
Дворовый футбол
В розыгрыше первенства района по футболу принимали участие шесть дворовых команд. Каждая команда встречалась с другими по одному разу. Первенство было разыграно в течение пяти суббот подряд, причём каждую субботу играли по три матча. В первую субботу «Орлёнок» выиграл с крупным счётом у «Метеора». Во вторую субботу «Орлёнок» победил «Искру», в третью субботу «Искра» выиграла у «Вымпела». В четвёртом туре «Ласточка» сыграла вничью с «Метеором».
С какой командой встречалась «Стрела» в последнем, пятом туре?
Задачи из журнала «Наука и жизнь» № 12, 1967 г.; №№ 3, 5, 1969 г.
