Все ли понимают, сколько цифр нужно оставлять при умножении и делении на калькуляторе, если он показывает их восемь или даже двенадцать?

Наука и жизнь // Иллюстрации

Калькуляторы, ставшие в последние годы повсеместно доступными, несомненное благо, которое, однако, имеет и негативные стороны. Все ли понимают, сколько цифр нужно оставлять при умножении и делении на калькуляторе, если он показывает их восемь или даже двенадцать? И почти все студенты и даже аспиранты считают, что оставлять их нужно как можно больше. Это неверно! Разберем простейший пример.

Измеренный радиус окружности равен 6 м. Найти ее длину.

Обычно дают расчет: С=2πR=2x3,14x6 м=37,68 м. Но четыре верные цифры - это очень высокая точность, в сотые доли процента, которая не так уж часто реализуется при измерениях. Откуда взяться такой высокой точности, если хотя бы одна величина, входящая в формулу, дана с точностью, на несколько порядков меньшей? Ведь в нашем примере она выражается всего одной цифрой. Так что корректный ответ таков: длина окружности " 38 м. А если необходим действительно точный ответ, то и данные в условии задачи должны быть с соответствующим числом знаков, скажем 6,00 м.

Правила округления проходят в средней школе. Они приведены во многих книгах, например в классическом "Справочнике по математике для инженеров и учащихся втузов" И. Н. Бронштейна и К. А. Семендяева. Но как-то так получилось, что сейчас этот маленький раздел (во всяком случае, в курсе математики) школьникам не преподают и уж подавно не упоминают в курсах высшей математики в вузах. Еще лет двадцать назад учащиеся и инженеры широко пользовались логарифмической линейкой, которая давала точность в две или три значащие (то есть верные) цифры и автоматически защищала вычислителя от фиктивной (иногда говорят - иллюзорной) точности, даже если он забывал правила округления. Но счетную линейку вытеснил технический прогресс, защита исчезла, и "эффект кажущейся точности" приобрел масштабы эпидемии.

Чтобы снизить его влияние, нужно следовать классическим правилам округления. В них основным понятием служит число значащих цифр, которое относится только к измеряемым, то есть случайным величинам. Оно считается слева направо начиная с первой ненулевой цифры. Например, 0,004080 имеет четыре, а 4,08x10^-3 - три значащие цифры. множитель, имеющий 10 в кратной степени, не влияет на число значащих цифр, а лишь указывает выбранный масштаб величины, не приводя при этом к фиктивной точности. Еще пример. Расстояние 3,5 км= 3,5x10³ м - точное равенство, в котором слева и справа по две значащие цифры. Не так просто обстоит дело с равенством 3,5 км= 3500 м. Если это всего лишь приведение масштаба к другим кратным единицам - одно дело. Если же надо отразить непосредственный результат измерения - несколько иное. Ведь справа стоят четыре значащие цифры, а слева их две; поэтому, отражая результат, лучше ставить волнистый знак приближенного равенства. Нетрудно ощутить различную информационную и даже экономическую нагрузку в частях равенства. Число слева имеет абсолютную точность 50-100 м, а справа - 0,5-1 м, от половины до целого последнего "деления". Если такая высокая точность действительно нужна при измерении километровых расстояний, то ценность этого результата и стоимость его измерения гораздо выше, чем у числа слева.

Напомним главное правило округления: если производят умножение или деление, то в результате оставляют столько цифр, сколько их содержит наименее точная из измеренных величин, и обычно сохраняют еще одну запасную цифру. Заметим, что часто путают число значащих цифр с числом десятичных знаков, считая, что какую-то роль играет положение запятой в числе. Но запятая лишь указывает на принятый масштаб измерений и не задает числа значащих цифр. Например, 1,205 км= 1205 м; и в том и в другом случае число значащих цифр равно и, следовательно, они записаны с одинаковой точностью.

Обратим внимание на одну неожиданную трудность. Оказывается, в очень многих учебных книгах по математике приведены примеры, в которых точность измерительных данных в условии на несколько порядков ниже, чем точность в решении (!). Точность как бы способна возникать ниоткуда, и это прочно оседает в подсознании учащихся. Приведу только один пример из добротного во всех других отношениях "Руководства к решению задач по теории вероятностей и математической статистике" В. Е. Гмурмана. (Хотя подобных примеров можно найти сколько угодно во многих других учебниках, мы специально взяли книгу по теории вероятностей и статистике, которая как раз и призвана прививать идеологию случайных величин.)

(№125). Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р=0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз.

Сама задача решена в принципе, разумеется, правильно. Но точность результата записана четырьмя цифрами: искомая вероятность равна 0,8882, тогда как правильной была бы запись 0,89. Запись в задачнике подразумевает точность в сотые доли процента. Откуда появляется такая точность, если в условии вероятность 0,8 задана только одной значащей цифрой и потому характеризуется точностью в десятки процентов? Поучительно вспомнить опыты выдающегося статистика К. Пирсона: когда симметричная монета подбрасывалась 12 тысяч раз, то частота падения ее на герб была 0,5012, а когда 24 тысячи раз - 0,5005 (см. "Наука и жизнь" № 7, 1993 г.). мы видим, что даже при столь большом числе повторений опыта неслучайными становятся в первом случае лишь две цифры, а во втором с натяжкой их три. В большинстве же других видов механических испытаний число повторений гораздо ниже, ниже и точность результатов.

- Ну и что? - спросите вы. - Надо ли заниматься такими мелочами, вроде бы особых неприятностей от сохранения лишних цифр не возникает.

Это не так. И не просто потому, что вообще при анализе наблюдений человек должен стремиться к истине, а заблуждения могут нанести ущерб, даже если заранее не всегда ясно какой. Во-первых, если не знать, как правильно округлить результат, на какой цифре остановиться, то где гарантия, что вы не отрежете и верные цифры, ухудшив необходимую точность? Во-вторых, допустим, вы сохранили лишние, незначащие цифры, а результат нужно увеличить в очень большое число раз. Тогда случайный "довесок" или "недовесок" приведет к большой ошибке, которой можно было бы избежать (такая ситуация типична для астрономических задач). В-третьих, если в какие-то документы (описания, отчеты, протоколы испытаний) попадут незначащие цифры, невозможно будет в точности воспроизвести исходные величины. Одним словом, освоить несложные правила округления случайных величин все-таки следует.

№3, 2002