По традиции все, кто присылает в редакцию ответы на задания, публикуемые в рубриках "Математические досуги" и "Психологический практикум", включая тех читателей, которые уже перешагнули возраст участника молодежных фестивалей (23 года), становятся участниками постоянного конкурса "Активный читатель". По итогам второго полугодия 2001 года будут бесплатно получать журнал "Наука и жизнь" в течение первого полугодия 2002 года прежде всего постоянные наши решатели-консультанты, активные члены клуба ценителей головоломок "Диоген": В. Дорофеев, В. Жиров, В. и Е. Жуковы, Г. Курбанов, О. Леонтьева, а также читатели: И. Дейко (г. Клецк), И. Драгунова (г. Казань), С. Кирсанов (г. Кемерово), Ю. Попов (г. Воронеж), В. Пономаренко (Москва). Конкурс продолжается. Ждем писем с ответами и новыми задачами.

Обозначим грани на развертке цифрами от 1 до 8, с одной стороны (назовем ее наружной) - синими, а с внутренней (обратной) - красными. Клапаны для склейки - к1, к2, к6, к7, к8.

Склеивание по схеме к8-3, к1-2, к2-7, к7-8, к6-1 даст правильный многогранник октаэдр (синие цифры снаружи, красные внутри). Фото 1.

Второй восьмигранник получится, если склеить развертку по схеме к8-3, к2-8, к7-2, к6-1 и к1-7. Фото 2.

Не знаем, представил ли кто-нибудь третью фигуру (о третьей фигуре речь в задании вообще не шла), но если развертку склеить по схеме к1-2, к6 приклеить к грани 1 или 4 так, чтобы синие цифры 4, 5, 6 оказались внутри пирамидки, и, наконец, склеить к7-8, а клапаны при гранях 2 и 8 либо отрезать, либо приклеить к граням своего же номера - к2-2, к8-8, то получим удивительную фигуру (фото 3).

Она тоже будет восьмигранной, но с односторонней поверхностью. В склеенной фигуре можно пройти по всем 16 сторонам восьми граней, не прерываясь: 1-2-3-4 "внутри" фигуры, 5-8-7-6 снаружи, и все это по обратной поверхности развертки (красные цифры). С грани 6 (красной) вы беспрепятственно переходите на первую грань другой стороны развертки и повторяете маршрут по ней 1-2-3-4, 5-8-7-6 (синие цифры), и снова, но уже в обратном порядке 4-3-2-1 (синие), 6-7-8-5, 4-3-2-1 (красные), и так до бесконечности. Получилась поверхность Мёбиуса. Пирамидка с гранями 1234 может трансформироваться (складываться). Приложив ее к другой пирамидке, можно получить гексаэдр - правильный шестигранник 125678 (фото 4).

Можно продолжить игру с разверткой восьмигранника и получить еще кое-что интересное. А. Горобец (г. Львов) отметил, например, что можно склеить два октаэдра АВСDЕF, вывернутых один относительно другого, и поэтому ни одно проективное преобразование не переводит один октаэдр в другой (проще говоря - красный и синий).

Два равнозначных 19-ходовых решения: 532-541-543-243-153-1241 и 412-453-451-251-341-3253.

"Ну, вы, и придумали!" - удивился один из молодых решателей. А между тем закономерность в расположении снежинок удалось обнаружить не только ветеранам "пазл-спорта".

Если начать обходить клетки квадратов, представленных в задании, с правого верхнего угла по спирали, то снежинка появляется в каждой пятой клетке.

Цифры однозначно определяют расположение всех 12 пентамино.

Мальчик укладывает доску на своей стороне так, чтобы ее конец свесился над рвом примерно на 30 см, и становится на другой конец для противовеса. Взрослый (если у него хватит сил) берет доску и укладывает ее через ров так, чтобы она упиралась на выдвинутый конец, переходит через ров и занимает место мальчика. Теперь через ров переходит мальчик.

Отмечаем: двери автобуса на противоположной стороне. Движение у нас правостороннее. Задом рейсовый автобус не ходит, стало быть, он движется влево.

Намек понят: все знают, что звукоизоляция в панельном доме отсутствует . Вечером человек звонил соседу в квартире за стеной. В три часа ночи - ему же, очевидно, громко храпящему. Разбудил. Цель достигнута, храп прекратился, и говорить не надо.

Правильный ответ: задача решений не имеет.

Однако в картинке к задаче была допущена опечатка: на пересечении второй горизонтали и второй вертикали вместо цифры 4 должна стоять цифра 5. Приносим извинение за невольное усложнение задачи. Не только ответ, но и его доказательство прислали А. В. Золотых (г. Воронеж) и В. Дорофеев (г. Мытищи).

Один читатель, не заметив ошибки, расставил стрелки, поставив в отмеченной клетке пятерку, и тоже был прав.

Лучшее решение умещается в сетке 6х16=96 клеток. Хорошее решение прислал А. Гузюк (г. Волжский): 9х11=99 клеток.

У многих возник вопрос: можно ли повторять буквы, например, включить в набор слова ПОП или ОПОРОС, составленные из рядом стоящих букв ОП и ОПРС. Засчитывались слова без повторений букв. Тогда возможный набор будет таким: ГДЕ, ЁЖ, КИЙ, ОН, ПТУРС, СПОР, СПОРТ, СТРОП, СТУПОР, СТРУП, СПУРТ, ТРУС, ТУФ, ФУТ, БА! НО, УФ!, ФУ!

Начало фразы подсказывает: читай не только слева направо, но и справа налево. Самое простое решение: КОМАР У РАМОК. В. Дорофеев (г. Мытищи) нашел еще два предложения-палиндрома: КОМАР У ТУРА МОК и КОМАР У МАКАК АМУРА МОК.

Задача имеет множество решений. В самом деле, пишет Ксения Смагина (г. Уфа), "при том, что все размеры от А до К разные (от 1 до 10), нужно, чтобы соблюдались равенства размеров Б+В=Ж+Е=Ж+К+В, а также А+З=А+И+Д=Г+Д. Кроме того, максимально возможная длина И=7 м, а К=8 м. Получилось всего 48 вариантов ". Нам больше всего понравился вариант площадью 153 кв. м.

В. Дорофеев (г. Мытищи) приводит два решения.

№ 15. А. Кисляк. 1.Фа8-а5x? Но как возникла позиция? В балансе белых фигур - 14 (на диаграмме) + 2 (взято черными пешками b:с и f:e) = 16 - была учтена и пешка f2, которая превращалась на поле f8. У черных баланс фигур тоже закрыт - 12 (на диаграмме) + 2 (черных коня взяты белыми пешками b6:с7 и е6:d7) + 2 (черные пешки взяты на своих исходных вертикалях "а" и "h") = 16. Высотный фигурно-пешечный ретроузел на ферзевом фланге можно развязать, восстановив на поле а7 черную пешку. Последние ходы в ретронотации (сперва записан последний ход, потом предыдущий и т.д.) таковы: 1.B-B e6-e5 2. ЛB-d5 e4-e3 3.ЛB-B e5-e4 4.Лh8: (пешку) B! 5.Лf8-h8 B-B 6.f7-f8Л h6-B 7.f6-f7 f7:Ce6 8.Cc4-e6 e6-e5 9.Ca6-c4 h7-h6 10.Cf1: (пешку) а6! a7-a6. Мы вернулись к критической позиции, легальность которой очевидна:

Перед ходом а7-а6

Продемонстрируем теперь, как проходила игра в обычной нотации: 1... a7-a6 2.Cf1:a6 (исчезла черная пешка "а", но в запасе у черных остаются темпоходы пешками е6 и h7) 2... h7-h6 3.Ca6-c4 e6-e5 (освобождая пункт е6) 4.Cc4-e6 f7:e6 (открывая путь белой пешке f6 к полю превращения) 5.f6-f7 h6-B 6.f7-f8Л B-B 7.Лf8-h8 B-B 8.Лh8:B (исчезла и черная пешка "h", и в запасе у черных остались лишь три пешечных хода по вертикали "е") 8... е5-е4 9.ЛB-B e4-e3 10.ЛB-d5 (белая ладья причалила к пункту своего назначения, и черные могут перекрыть пятую горизонталь) 10... e6-e5 11.B-B (последний ход), и перед нами позиция № 15, которая может возникнуть только при очереди хода черных. Поэтому решает удар не белого, а черного ферзя - Фb2-b5x! "Размашистые матующие ферзевые ходы внутри ретроузла", - так комментировал замысел этой задачи ее автор -чемпион мира по составлению ретроаналитических композиций 1989-1991 годов.

ОТВЕТЫ НА КРОССВОРД С ФРАГМЕНТАМИ
(№ 2, 2002 г.)

По горизонтали. 7. Вакансия (узел кристаллической решетки, в котором отсутствует атом или ион). 8. Ктесибий (древнегреческий механик, изобретатель поршневого насоса, изображенного на рисунке). 9. Лорка (испанский поэт, автор процитированного стихотворения "Ночь"). 11. Конец (перевод с французского). 12. Бонифаций (персонаж мультфильма "Каникулы Бонифация" Ф. Хитрука, кадр из которого приведен). 15. Лазарь (приведен отрывок Евангелия от Иоанна). 18. Власов (советский архитектор, по проекту которого сооружен изображенный на снимке Крымский мост в Москве). 19. Троцкий (председатель Реввоенсовета, сформированного в июле 1919 года в указанном составе). 20. Мелизм (небольшое украшение вокальной или инструментальной мелодии; приведены нотные обозначения форшлага, трели, мордента, группетто). 21. Рейтар (на рисунке изображен российский рейтар XVII века; рейтары - вид тяжелой кавалерии). 24. Андреев (русский поэт и философ, автор процитированного трактата "Роза Мира"). 26. Кантор (немецкий математик, основатель теории множеств; приведен предложенный им символ для обозначения мощности счетного множества). 27. Волков (русский артист, имя которого носит изображенный на снимке Ярославский государственный академический театр драмы). 31. Трубкозуб (млекопитающее одноименного отряда). 33. Сычуг (последний отдел четырехкамерного желудка жвачных животных). 34. Париж (столица Франции; на снимке - собор Парижской Богоматери). 35. Ромбоэдр (параллелепипед, все грани которого - ромбы). 36. Левретка (декоративная карликовая борзая собака).

По вертикали. 1. Барограф (прибор для регистрации атмосферного давления). 2. Ласко (пещера во Франции, на стенах которой сохранились живописные изображения времен позднего палеолита - одно из них представлено). 3. Киршон (советский писатель, автор процитированного стихотворения). 4. Иттрий (химический элемент, символ которого приведен). 5. Дикой (персонаж процитированной пьесы "Гроза" А. Островского). 6. Гиперион (спутник планеты Сатурн, символ которой приведен). 10. Уффици (картинная галерея во Флоренции, где находится картина "Рождение Венеры" С. Боттичелли, фрагмент которой представлен). 13. Трубецкой (русский скульптор, автор представленного портрета М. Тенишевой). 14. Альбатрос (птица отряда буревестников). 16. Дрезина (транспортная машина на железнодорожном ходу). 17. Пиренеи (горная система, в пределах которой находится государство Андорра, карта которого приведена). 22. Треска (рыба одноименного семейства). 23. Закрылок (деталь крыла самолета). 25. Корзинка (тип соцветия, представленный рисунком). 28. Дриада (в древнегреческой мифологии нимфа, обитающая на деревьях). 29. Куттер (парусное судно, вооружение которого представлено рисунком). 30. Румба (один из спортивных танцев на льду, входящих в обязательную программу соревнований). 32. Палех (поселок в Ивановской области России, центр лаковой миниатюры; представлен фрагмент миниатюры "Конек-Горбунок" А. Борунова).

(№ 2, 2002 г.)

Внимательно прочитав условие задачи, можно сделать следующие выводы. Во-первых, Андрей Андреевич - не отец Игоря и не отец Жени. Его сын - либо Коля, либо Дима. Во-вторых, Дима - не сын Василия Васильевича и не сын Андрея Андреевича. Стало быть, Андрей Андреевич - отец Коли. Мы пришли к этому методом исключения. Значит, Дима играл с отцом Коли. Сопоставив сведения о партнерах Димы, Жени и Коли, мы увидим, что Игорь мог играть только с отцом Димы. Запишем все четыре пары:

Дима - Андрей Андреевич (отец Коли).

Женя - отец Игоря.

Коля - отец Жени.

Игорь - отец Димы.

Теперь видно, что с Колей (сыном Андрея Андреевича) играл Василий Васильевич (отец Жени), а с Женей (сыном Василия Васильевича) - Борис Борисович (отец Игоря). Игорь мог играть только с Григорием Григорьевичем (отцом Димы). Можно выписать полные характеристики пар, сражавших ся за шахматными досками:

Дима (сын Григория Григорьевича) - Андрей Андреевич.

Женя (сын Василия Васильевича) - Борис Борисович.

Коля (сын Андрея Андреевича) - Василий Васильевич.

Игорь (сын Бориса Борисовича) - Григорий Григорьевич.

- Бедняга! - с сожалением пробормотал Борг, провожая глазами макушку сыщика, сверкавшую за стеклами уплывающего вагона. - Я догадываюсь, чем все это кончится... Он так и не понял, что на голове у Обмишулера парик, под которым скрывается лысина. Сняв парик, этот жулик действительно выполнит условие договора: волосы клиента, какими бы жидкими они ни были, все равно окажутся не хуже, чем у него.

Тор, число, круг, угол, плюс, дуга, линия, куб, минус, точка, шар.

О букве П можно сказать, что она не соответствует нулю. И еще ясно, что Р меньше П, так как при равенстве очков "Буревестник" стоит выше "Динамо". Значит, П не меньше 1, тогда С не меньше 2. Если принять, что П = 2, то не удастся соблюсти равенство очков, набранных тремя командами.

Примем, что П = 1. Тогда Р = 0. Отсюда следует вывод: "Буревестник" провел всего одну игру и свел ее вничью, забив и пропустив К мячей. По одной ничьей есть и на счету остальных трех команд (число команд, сыгравших вничью, должно быть четным). На счету "Авангарда" кроме ничьей есть еще две победы (С = 2, и других вариантов для С нет). Стало быть, К = 5 (количество очков, набранных "Авангардом"). "Буревестник" добыл ничью во встрече с "Авангардом", и игра закончилась со счетом 5:5. "Динамо" свело вничью встречу с "Водником", а в игре с "Авангардом" потерпело поражение. Проиграл "Авангарду" и "Водник".

У "Динамо" разница между забитыми и пропущенными мячами должна быть лучше, чем у "Водника" (см. расположение команд в таблице). Следовательно, Т больше У, и "Авангард" должен был забить в ворота "Водника" не меньше двух мячей, а в ворота "Динамо" - не меньше одного мяча.

Искомый результат достигается при Т = 9, тогда колонки забитых и пропущенных мячей примут вид:

Игра "Авангарда" и "Динамо" закончилась со счетом 2:1, а "Водник" проиграл "Авангарду" со счетом 0:2. Встреча "Динамо" и "Водника" закончилась со счетом 8:8.

В расшифрованном виде таблица выглядит так:

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

№3, 2002