КОРИФЕЙ МАТЕМАТИКИ
Ю. ЛИННИК, АКАД Ю. ПУХНАЧЕВ. КАНД ФИЗ -МАТ. НАУК
Академик Ю. ЛИННИК, и кандидат физико-математических наук КЗ. ПУХНАЧЕВ.
Теория чисел. Теория вероятностей. Теория приближения функций, и интерполирования. Каждое из перечисленных направлений входило в круг интересов Пафнутия Львовича Чебышева. Какому же из них отдать предпочтение в кратком очерке о работах великого русского математика?
Тридцать пять лет, начиная с 1847 года, П. Л. Чебышев состоял профессором Петербургского университета. Здесь он несколько раз прочел курс практической механики, теорию эллиптических функций, и интегрирование дифференциальных уравнений, свыше десяти раз - высшую алгебру, и интегральное исчисление, аналитическую геометрию, и сферическую тригонометрию. Курсы теории чисел, и теории вероятностей он читал почти каждый год. Отсюда можно заключить, что именно им Чебышев уделял особое внимание среди многих разделов математики, которыми он занимался. В обеих этих областях им сделаны фундаментальные открытия непреходящей ценности, во многом предопределившие развитие этих областей, созданы основные общие методы, сохранившие свое значение по сей день.
«Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» (1851), «Мемуар о простых числах» (1852). Двадцать веков отделяют даты перечисленных работ от времени великого античного математика Эвклида, которому принадлежат первые суждения о природе простых чисел.
Что же такое простые числа?
«Целые положительные числа, которые делятся только на себя, и на единицу» - таково их определение. Их последовательность бесконечна. Эвклид доказал это изящным, и строгим рассуждением. Рассматривая таблицы простых чисел, математики ввели функцию л. (х) - количество простых чисел, не превышающих данного положительного х. По, какому же закону возрастает это количество? Какова функция, и (х)?
Двадцать веков эта проблема ждала своего разрешения. А ведь среди тех, кто брался за нее, были такие мыслители, как Карл Фридрих Гаусс. Вспомним, и об Адриене Лежандре - в 1798 году он высказал предположение, что, и (х) при увеличивающемся х с возрастающей точностью приближается дробью, в числителе которой стоит х, а в знаменателе - логарифм от х, уменьшенный на некоторую постоянную величину. Французский математик Жозеф Бертран высказал гипотезу о том, что при n >= З между, n и 2n - 2 найдется хотя бы одно простое число.
Видимо, «постулат Бертрана», и привлек внимание Чебышева к загадке простых чисел. Для их исследования он применяет так называемую дзета-функцию Эйлера, и изучает ее поведение, используя лишь методы вещественного анализа. Ему удается сделать плодотворный вывод о приближенном выражении функции, и (х) через степенные, и логарифмические функции - результат Чебышева, в частности, опровергал предположение Лежандра. А в следующем мемуаре, соединившем исключительное остроумие, и глубину анализа с необычайной простотой подхода, Чебышев доказывает при достаточно больших значениях х знаменитое неравенство для функции п(х) - неравенство Чебышева. Этот мемуар стал событием в теории чисел. Неравенства Чебышева доставили первые со времен Эвклида обоснованные сведения о расположении простых чисел в ряду всех целых. Постулат Бертрана следовал из чебышевских неравенств, как частный вывод.
«Чебышев был первым после Эвклида, кто пошел правильным путем для решения проблемы простых чисел, и достиг важных результатов», - отмечал геттингенский математик Эдмунд Ландау. А известный английский алгебраист Сильвестр, продолжавший исследования Чебышева, писал, что для их завершения нужно ждать рождения человека, «столь превосходящего Чебышева проницательностью, и глубокомыслием, как Чебышев превосходил в этих качествах обыкновенных людей». На самом деле такое завершение потребовало развития' новых глав анализа усилиями многих математиков.
Неравенства Чебышева наводили на мысль о том, что дробь, заключенная в их рамки, стремится к единице при возрастающем х. Если предел существует, он должен быть именно таким - это следовало из работ Чебышева. Однако предстояло обосновать сам факт существования предела - Чебышев не сделал этого. Предельное соотношение было доказано в 1896 году средствами теории функций комплексного переменного (Жак Адамар, Шарль де Балле Пуссен), а полвека спустя - уже элементарными средствами, продолжающими, по существу, идеи Чебышева, и опирающимися на его неравенства. Отметим в заключение, что в бумагах, и письмах Чебышева есть такие замечания, углубление которых недоступно, и современным средствам теории простых чисел. Сегодня они остаются такой же загадкой, какой были в середине девятнадцатого века.
«Опыт элементарного анализа теории вероятностей» (1845), «Элементарное доказательство общего соотношения теории вероятностей» (1846), «О средних величинах» (1867), «О предельных величинах интегралов» (1874), «О двух теоремах относительно вероятностей» (1887).
В августе 1812 года в Смоленск, занятый французами, в ставку Бонапарта, гонец доставил из Парижа срочный пакет. Знаменитый математик Пьер Симон де Лаплас посылал Наполеону свою «Аналитическую теорию вероятностей». Ученый считал свой труд достойным того, чтобы отвлечь внимание императора в момент, когда тот уже осознал неизбежность своего поражения в войне.
Выход в свет книги Лапласа часто отождествляют с рождением аналитической теории вероятностей. Книга, несомненно, замечательна. Но в ней рассматривались весьма частные случаи отдельных задач, рассчитанные сложными, и громоздкими способами. Общего метода теории книга не содержала. Ключом к решению проблем, стоявших в то время перед теорией вероятностей, стало общее понятие случайной величины. Строго, и отчетливо это понятие впервые было введено в математику Пафнутием Львовичем Чебышевым. Можно сказать, что именно он создал теорию вероятностей, как науку. Уже в первой своей работе, посвященной вероятностям, он требует, чтобы в науке о них устанавливались строгие неравенства, проводились оценки погрешностей.
Двадцатипятилетним юношей Чебышев строит общее, и строгое доказательство так называемого закона больших чисел, открытого Якобом Бернулли, впервые обоснованного Лапласом с помощью весьма громоздких рассуждений. Суть закона заключается в том, что в подавляющем большинстве случаев частота наступления случайного события в независимых опытах с ростом числа испытаний отличается от теоретического значения вероятности на все меньшую величину, грубо говоря, убывающую обратно пропорционально квадратному корню из числа испытаний.
Чебышев доказывает закон больших чисел на основании остроумных рассуждений об экстремумах функций. Двадцать лет спустя он создает свой знаменитый метод моментов - один из важнейших, и наиболее общих методов теории вероятностей. Мемуар, где этот метод изложен впервые, содержит классическое неравенство Чебышева - одно из главнейших неравенств теории вероятностей. Из него легко выводится закон больших чисел в форме Чебышева, впервые приведенный также в этом мемуаре.
Именно на работах Чебышева основано современное математическое представление о законе больших чисел. Различные его формы, появившиеся впоследствии, являются развитием метода Чебышева.
Метод моментов разрабатывается Чебышевым в дальнейших мемуарах; новые неравенства Чебышева выражают интегралы от вероятностной плотности через непрерывные дроби. В этих работах, по существу, уже содержатся все данные для доказательства теоремы, которая теперь называется центральной предельной теоремой теории вероятностей. (В сущности своей она гласит, что суммы большого числа независимых случайных величин, среди которых нет преобладающих, распределены приблизительно по закону Гаусса.)
Это доказательство было проведено в 1898 году учеником П. Л. Чебышева А. А. Марковым. Два года спустя, отправляясь от более общих предпосылок, новое доказательство строит другой ученик великого математика - А. М. Ляпунов, после чего теорема, и получает название «Центральная предельная теорема Ляпунова».
«Теория механизмов, известных под названием параллелограммов» (1854), «Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным представлением функций» (1858), «Об интерполировании по способу наименьших квадратов» (1859), «О функциях, наименее уклоняющихся от нуля» (1873). Эта глава могла бы по праву войти в рассказ о работах П. Л. Чебышева в области механики. Основное понятие о функциях, наименее уклоняющихся от нуля, возникло из работы, посвященной параллелограмму Уатта.
Однако значение предложенного тогда математического метода оказалось намного шире, нежели решение нескольких частных прикладных задач. От него ведет свою историю теория наилучшего приближения функций. Созданная Чебышевым, она быстро была признана важным разделом математики уже в 1870 году Бертран включает ее изложение в свой «Трактат об интегральном исчислении» «Чудом анализа» называл ее Бертран.
Соображения, которыми руководствовался Чебышев, просты и естественны. Практические расчеты значительно упростятся, если сложные функции, описывающие тот или иной механический процесс, заменить более простыми, но отклоняющимися от исходных в достаточно малых пределах. Как отыскать среди многочленов заданной степени такой, чтобы его наибольшее отклонение от данной функции было минимальным? Так ставит задачу Чебышев. И формулирует ее в предельно отчетливом виде построить полиномы последовательных степеней с заданным старшим коэффициентом, у которых максимальное уклонение от нуля было бы минимальным.
Этим в науку впервые была введена идея минимаксного решения - основная концепция современных работ по теории управления, математической статистике, эконометрике. (В последней, например, речь идет о таком выборе плана, чтобы на заданном отрезке времени максимальное расхождение между заданием, и реальным его выполнением было минимальным и т. д.)
Полиномы, построенные в работе о параллелограмме Уатта, вошли в математику, как «полиномы Чебышева». Имя великого русского математика присоединяют к названиям полиномов других систем - ортогональных полиномов Эрмита, Латтера. Вместе со старейшей семьей ортогональных полиномов - лежандровых - все они могут быть построены по общей методике, разработанной Чебышевым.
В общей теории ортогональных полиномов Чебышеву принадлежит основополагающая роль. Дальнейшим развитием эта теория обязана ученику великого математика А. А. Маркову, и голландскому математику Стильтьесу.
Создатель теории приближения был изобретателем и одного из важнейших ее практических приложений - так называемого метода параболического интерполирования по способу наименьших квадратов. Метод применяется, и поныне благодаря одной замечательной особенности. Вот в чем ее сущность.
Может случиться, что, взяв для приближения данной функции несколько первых приближающих полиномов, мы еще не достигнем желаемой точности. Значит, к выбранным полиномам надо присоединить несколько следующих и. заново провести все расчеты. Сама необходимость повторных выкладок кажется вполне естественной. И действительно, трудоемкий пересчет характерен для многих методов практического, численного приближения функций.
Параболическое интерполирование по Чебышеву с увеличением степени приближающих полиномов требует проведения лишь дополнительных, уточняющих расчетов - данные старых остаются в силе, и используются при построении новых полиномов. Экономные потребности в памяти, четкий алгоритм параболического интерполирования позволяют эффективно применять его в современных расчетах на ЭВМ.
«Об интегрировании иррациональных дифференциалов» (1853], «Черчение географических карт» (1856). «Об одном арифметическом вопросе» (1866), «О кройке одежды» (1878), «Счетная машина с непрерывным движением» (1882). Как объяснить, что столь разнообразные по тематике работы сведены в единый перечень?
Мы переходим к заключительному разделу нашей статьи. И начать его хотели бы с напоминания о том, насколько широк был круг научных интересов великого русского математика, и механика. Это наглядно доказывают названия его трудов, сведенные воедино.
Есть у этих работ, и еще один объединяющий признак. Им не обладает, пожалуй, лишь первая. Она касается интегрирования некоторых иррациональных алгебраических выражений, и той проблемы, которая всегда возникает при этом удастся ли выразить интеграл через элементарные функции? «Берется» ли он в аналитической форме? Такие случаи редки, но еще реже можно заранее предсказать столь благоприятный исход интегрирования по виду функции.
Для тех выражений, которые рассмотрены Чебышевым, ему удалось найти простое соотношение между параметрами подинтегральной функции, и доказать, что аналитическая форма интеграла существует тогда, и только тогда, когда это соотношение выполняется. Но это о самой первой из перечисленных работ. Каждой из других можно посвятить отдельный рассказ - о том, насколько богаты они новыми научными проблемами, о том, какую из них удалось углубить в своих исследованиях ученикам Чебышева.
«Об одном арифметическом вопросе» (1866). Чебышев касается здесь вопроса о приближениях чисел рациональными дробями - так называемых диофантовых приближениях. Глубокие работы посвятили им в свое время Эйлер, и Лагранж. Чебышев обобщает постановку вопроса, решает его в новом, более широком смысле. Его результаты порождают обширную литературу, выявляют ряд задач, не решенных, и по сие время.
«Черчение географических карт» (1856). Каким условиям должна удовлетворять географическая проекция, чтобы плоская карта отображала реальную ограниченную область выпуклой земной поверхности с сохранением подобия, и так, чтобы максимальное расхождение масштабов было минимальным? (И здесь, как видим, минимаксная постановка вопроса!) За поставленную задачу берется Д. А. Граве, воспитанник чебышевской математической школы. Ему удается обосновать догадку Чебышева наилучшей в указанном смысле будет та проекция, при которой масштаб на границе отображенной области сохраняется.
Задача о фигурах равновесия равномерно вращающейся жидкости, частицы которой притягиваются по ньютоновскому закону всемирного тяготения. Этой задачи нет в нашем списке. Лишь наметив ее, Чебышев предлагает заняться ею своему ученику А. М. Ляпунову. Решение задачи выдвинуло молодого ученого в ряд виднейших математиков своего времени. Ляпунову впервые удалось строго поставить, и строго решить проблему, интересовавшую еще Ньютона, Лагранжа, Лапласа, и многих других крупнейших мыслителей. Годы спустя Ляпунов вошел в историю науки прежде всего, как создатель своего научного направления - современной строгой теории равновесия, и устойчивости движений. Руководством же на первых этапах научного пути, посвященных механике, и теории вероятностей, он обязан Чебышеву.
П. Л. Чебышеву обязан А. А. Марков постановкой плодотворной задачи ©приближенном нахождении функций распределение вероятностей. Решением проблемы Марков значительно продвинул вперед чебышевский метод моментов. Конечно, у всякого, кто знаком с теорией вероятностей, имя Маркова ассоциируется в первую очередь с другой замечательной ветвью этой науки - с «цепями Маркова», «марковскими процессами». Но не надо забывать, что в теории вероятностей Марков был учеником Чебышева, и воспринял его идеи. Направляющее влияние на такие умы, как Ляпунов, и Марков, имеет для науки не меньшее значение, чем сама научная деятельность их учителя.
Многие ученики Чебышева унаследовали от него педагогическое дарование. Росла, и ширилась созданная им Петербургская математическая школа - подлинное созвездие замечательных ученых А. М. Ляпунов, А. А. Марков, В. А. Стеклов, Г. Ф. Вороной, Е. И. Золотарев, А. Н. Коркин; воспитанниками этой школы были Д. А. Граве, К. А. Поссе, Ю. В. Сохоцкий, а позднее такие крупнейшие математики, как Б. Н. Делоне, А. Н. Крылов, С. Н. Бернштейн, И. М. Виноградов. В трудах этих ученых - истоки многих советских математических школ теории вероятностей, теории чисел, теории приближения функций. Работы Чебышева послужили той базой, на которой развились эти школы, на первых порах складывавшиеся из учеников великого математика, их силами выдвинутые на ведущие места в мировой науке.
Читайте в любое время
