ПРОБЛЕМА ФИЗИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
Академик А. ОБУХОВ.
Специфика очень трудной проблемы турбулентности заключается в том, что это не есть проблема только математической физики, когда дело сводится к поискам способов решения, какого-то известного уравнения, описывающего явление.
Речь идет о проблеме физической гидродинамики, при решении которой должны органически сочетаться методы механики сплошных сред, математического анализа, и статистики. Это сочетание требует большой изобретательности, и к тому же каждый частный результат здесь надо обязательно проверить экспериментально. Поэтому мы не должны жаловаться, что кем-то не написан труд, позволяющий объяснить все особенности турбулентных течений. Каждая работа, что-то проясняет, но в то же время ставит, какие-то новые вопросы, и, таким образом, исследование продолжается.
Теория турбулентности в нынешнем ее состоянии во многом напоминает квантовую теорию полей, аппарат которой еще не развит в той мере, которая могла бы удовлетворить физиков. Если взять более близкую нам область теоретической физики, то можно указать на статистическую теорию жидкостей - она тоже еще не построена, хотя кинетической (статистической) теорией газов пользуются с конца прошлого века.
Мы не сомневаемся, что при изучении турбулентности надо исходить из уравнений гидродинамики, то есть из законов Ньютона, примененных к сплошным средам. Вопрос состоит в том, как описать механизм преобразования энергии в турбулентном потоке, как для его исследования в нужной дозе применить статистику, не затеняя при этом механической стороны дела.
В турбулентном потоке поле скоростей устанавливается случайным образом оно хаотически меняется во времени, и не определяется однозначно внешними условиями. Поэтому для исследования турбулентных течений требуется особый статистический аппарат, с помощью которого можно анализировать распределения вероятностей, соответствующие тому или иному полю скоростей турбулентного потока. Такой аппарат носит название теории случайных полей. Сама эта теория начала развиваться относительно недавно - лет тридцать назад.
Проблема турбулентности трудна, и волнующа для любого физика тем, что для описания турбулентного потока нет замкнутой системы уравнений. Именно с этим обстоятельством связано мнение (которое разделяют многие крупные современные физики), что турбулентность представляет собой самую большую физическую загадку, оставшуюся еще не решенной. Отсутствие замкнутой системы уравнений надо, как-то компенсировать. Именно поэтому очень большую роль приобретают полуэмпирические гипотезы. Это, по существу, некие связи между физическими характеристиками явления, которые устанавливаются из качественных соображений, но не могут быть строго доказаны, а должны проверяться на опыте.
Громадную роль при этом играют соображения теории размерностей, и теории подобия, а говоря более общо - соображения симметрии, которые в физике сейчас приобретают огромное значение. Именно они дают ключ к тому, в, какой форме надо искать дополнительные соотношения, благодаря которым уравнения турбулентного потока станут замкнутыми, разрешимыми.
Учет соображений симметрии позволяет отобрать разумные подходы, которые «работают» при решении целого ряда конкретных задач. Ситуация здесь напоминает поиски закономерностей, которым подчиняется спектр элементарных частиц. Там сейчас, по существу, тоже нет никаких надежных основ, кроме соображений симметрии.
Ради наглядности обратимся к примерам. Представьте неограниченное ровное, покрытое травой поле, над которым дует ветер. При этом на фиксированной высоте физические свойства турбулентного потока, его статические характеристики, очевидно, от точки к точке меняться не будут. В этом случае существенна будет лишь высота точки наблюдения. В таком случае говорят о двумерной однородности, двумерной симметрии. Вот такой симметрией мы всегда пользуемся. Уравнения при этом значительно упрощаются.
Теперь о подобии. Оказывается, что течение вязкой жидкости (или газа) можно воспроизвести с сохранением всех деталей, произвольно «растянув» оси координат, и изменив только вязкость. Это можно показать, анализируя уравнения гидродинамики они допускают преобразования подобия, при которых все остается на месте, кроме вязкости. Таким образом, мы знаем, при, каких преобразованиях сами уравнения гидродинамики сохраняются, не меняют форму. Если речь идет о законах крупномасштабной турбулентности вдали от стенки, то на них вязкость не должна влиять и, следовательно, они должны также допускать преобразования подобия. Итак, законы турбулентности (как их установить - для нас еще непонятно) должны обладать теми же свойствами неизменности по отношению к некоторым преобразованиям, что, и сами исходные уравнения. И это подтверждается на опыте. Только нужно знать, какие факторы являются главными, какие - второстепенными, то есть не играющими заметной роли.
Роль соображений симметрии можно проиллюстрировать частным результатом, который совсем не является тривиальным. Обратимся к тому же примеру с ветром над ровным полем. Поставим вопрос, как будет изменяться скорость ветра с высотой? Опуская довольно сложные рассуждения, отметим, что из одних только соображений подобия можно заключить единственная формула, которая сохраняется при преобразованиях подобия, - это логарифмическая. Значит, скорость ветра меняется с высотой по логарифмическому закону, то есть профиль скорости ветра имеет такой вид логарифм высоты, умноженной на, какую-то константу. Разумеется, из соображений подобия определить эту константу принципиально нельзя; ее нужно найти опытным путем. Эта эмпирическая константа - так называемая постоянная Кармана - была определена (в системе единиц, в которой она безразмерна, то есть является просто числом), и оказалась равной 0,4.
С открытия этого логарифмического закона для средней скорости, собственно, и начались полуэмпирические теории турбулентного движения. Предсказать заранее такой закон было совсем не так просто. В самом деле, при чем тут логарифм, какое он имеет отношение к скорости ветра?
Мы уже сказали, что в формулу логарифмического распределения скорости ветра по высоте входит постоянная Кармана. И вот чего ждут от нас если не современники, то, во всяком случае, потомки, - это определить значение данной константы теоретически. Я думаю, что при жизни нашего поколения такого не произойдет, но есть специалисты, которые считают, что не за горами то время, когда постоянная Кармана будет выражена в виде решения, какого-нибудь трансцендентного уравнения, и это будет указывать на появление полноценной физической теории турбулентности. Однако пока, что сделать это еще никому не удалось. Но инженеров это мало смущает - они знают, чему равна постоянная Кармана, и с успехом используют ее эмпирическое значение в практических расчетах.
Подобное случалось в науке. Когда-то в глубокой древности геометры определяли отношение длины окружности к диаметру с помощью веревочки, опытным путем устанавливали зависимость площади круга от радиуса, и строили великолепные колонны, умея заранее рассчитать, сколько материала для этого потребуется. Впоследствии математики научились определять число «пи» с любой степенью точности. Проводя очевидную аналогию, можно спросить, а так ли уж важно, когда будет аналитически определена постоянная Кармана? Конечно, с точки зрения теоретической это было бы блестяще. Если будет найдена замкнутая система уравнений турбулентного потока, хотя бы для пристеночного слоя (когда поток обтекает тело или стенку), то постоянная Кармана определится сама собой. А пока, что это просто эмпирическая константа, и те полезные выводы, которые мы получаем, и используем в механике, и в геофизике, вытекают из общих соображений подобия, но без замкнутой системы уравнений.
Решение уравнений турбулентности можно найти, только наметив, какие-то новые подходы к проблеме. Их поиск, как уже говорилось, ведется в ходе разносторонних конкретных исследований.
В последние годы все шире стал развиваться метод построения математических моделей, доступных аналитическому исследованию. Система уравнений, образующая такую модель, похожа на классические уравнения гидродинамики. Такие упрощенные системы допускают аналитическое исследование. Оно проводится, чтобы выяснить основные вопросы проблемы турбулентности, например, как представить нелинейный механизм передачи энергии от потока в целом вихрям все меньшего масштаба.
Первая модель такого рода, содержащая квадратичные слагаемые (как в уравнениях Навье - Стокса), была построена голландским ученым Бюргерсом и описана им в 1938 году. На XIII Международном конгрессе по теоретической, и прикладной механике я докладывал о многомасштабной модели - системе дифференциальных уравнений, по своим свойствам напоминающей в основных - чертах уравнения движения реальной жидкости (нелинейностью, и существованием интеграла энергии). Оказывается, что в рамках нелинейных моделей уже кое-что можно сказать о механизме превращения энергии, построить такие системы типа цепочек (то есть такого вида, когда величина, определяемая первым уравнением, входит во второе, определяемая вторым - в третье, и т. д.), которые показывают, как распределяется энергия между возмущениями (вихрями) различных масштабов. Такие нелинейные механизмы сейчас исследуются учеными разных стран. Для этого применяют, в частности, цифровые, и аналоговые вычислительные машины; бесконечную систему уравнений, разумеется, «урезают» до конечной. Я думаю, что такие исследования наиболее простых механизмов преобразования энергии на моделях с конечным числом степеней свободы тоже важны. Нелинейность уравнений здесь не помеха. Для сравнения скажу, что сейчас имеется, например, много работ по нелинейным процессам в плазме. Эти работы свидетельствуют, в частности, о том, что нелинейностей не следует пугаться, их можно изучать для начала на простейших моделях, а при усложнении моделей - на электронных вычислительных машинах, что в настоящее время, и является одним из новых направлений.
Кроме того, мы сейчас в нашем институте строим совсем простые модели, которые позволяют продемонстрировать, и понять свойства гидродинамической неустойчивости - главной причины возникновения турбулентности. В целом эта проблема очень трудна в математическом плане. Но, оказывается, можно реализовать в лабораторных условиях довольно простые случаи гидродинамической неустойчивости, что представляет несомненный интерес с точки зрения познания общих закономерностей явления.
Читайте в любое время
