Публикации журнала не только вызывают отклики читателей, но и порождают новые темы для обсуждения. Так было со статьей В. Доценко “Пятое правило арифметики” (см. “Наука и жизнь” № 12, 2004 г.). В ней отмечалось низкое качество образования французских студентов, сдававших в школе “бак” (от слова “бакалавр”), аналог нашего единого государственного экзамена. Из откликов на статью мы напечатали заметку Г. Полознева “Сбывшееся предсказание”, в которой говорилось об аналогичном положении среди немецких студентов (см. “Наука и жизнь” № 12, 2005 г.), а кроме того, упоминалось о сельской школе Рачинского, который еще в конце XIX века прививал деревенским ребятишкам навыки устного счета и основы математического мышления. На иллюстрации к заметке — репродукции картины Богданова-Бельского изображен процесс решения в уме дроби `(10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2)/365`. Читателям предлагалось найти наиболее простой и рациональный метод нахождения ответа.

В качестве примера был дан вариант вычислений, в котором предлагалось упростить числитель выражения, по-иному сгруппировав его слагаемые:

\[{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2} = {10^2 + 12^2 + 14^2 + 11^2+ 13^2}= {4(5^2 + 6^2 + 7^2) + 11^2+(11+2)^2} = {4(25 + 36 + 49) + 121 + 121 + 44 + 4} = {4 \times 110 + 242 + 48 = 440 + 290 = 730}.\]

Следует отметить, что данное решение было найдено “по-честному” — в уме и вслепую, во время прогулки с собакой в подмосковной роще.

На предложение присылать свои варианты решения откликнулись более двадцати читателей. Из них чуть меньше половины предлагают представить числитель в виде

\[10^2 + (10 + 1)^2 + (10 + 2)^2 + (10 + 3)^2 + (10 + 4)^2 = 5 \times 10^2 + 20 + 40 + 60 + 80 + 1 + 4 + 9 + 16.\]

Это М. Граф-Любарский (г. Пушкино); А. Глуцкий (г. Краснокаменск Московской обл); А. Симонов (г. Бердск); В. Орлов (г. Липецк); Кудрина (г. Речица, Республика Беларусь); В. Золотухин (г. Серпухов Московской обл); Ю. Летфуллова, ученица 10-го класса (г. Ульяновск); О. Чижова (г. Кронштадт).

Еще более рационально представили слагаемые как `(12 - 2)^2 + (12 - 1)^2 + 12^2 + (12 + 1)^2 + (12 + 2)^2`, когда произведения `+-2` на 1, 2 и 12 взаимно уничтожаются, В. Злоказов; М. Лихоманова, г. Екатеринбург; Г. Шнейдер, Москва; И. Горностаев; И. Андреев-Егоров, г. Северобай кальск; В. Золотухин, г. Серпухов Московской обл.

Читатель В. Идиатуллин предлагает свой способ преобразования сумм:

\[10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 200 + 11^2- 10^2+ 12^2-10^2= 300 + 1 \times 21 +2 \times 22 =321 + 44 = 365;\]

\[13^2 + 14^2= 200 + 13^2-10^2+ 14^2-10^2= 200 + 3 \times 23 + 4 \times 24 = 269 + 94 = 365.\]

Д. Копылов (Санкт-Петербург) напоминает об одной из самых известных математических находок С. А. Рачинского: существуют пять последовательных натуральных чисел, сумма квадратов первых трех из которых равна сумме квадратов двух последних. Эти числа и приведены на классной доске. А если ученики Рачинского наизусть знали квадраты первых пятнадцати — двадцати чисел, задача сводилась к сложению трехзначных чисел. Например: `13^2+ 14^2= 169 + 196 = 169 + (200 - 4)`. Сотни, десятки и единицы складываются по отдельности, и остается только подсчитать: `69 - 4 = 65`.

Похожим образом решили задачу Ю. Новиков, З. Григорян (г. Кузнецк Пензенской обл.), В. Маслов (г. Знаменск Астраханской обл.), Н. Лахова (Санкт-Петербург), С. Черкасов (п. Теткино Курской обл.) и Л. Жевакин (Москва), который предложил также дробь, вычисляемую аналогичным способом:

\[\frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2+ 15^2 + 19^2+ 2^2}{365} = 3.\]

А. Шамшурин (г. Боровичи Новгородской обл.) применил для вычисления квадратов чисел рекуррентную формулу типа \(A_i^2 = (A_{i-1}+1)^2\), сильно упрощающую расчеты, например: \(13^2 = (12 + 1)^2 = 144 + 24 + 1\).

Читатель В. Паршин (Москва) попытался применить правило быстрого возведения во вторую степень из книги Е. Игнатьева “В царстве смекалки”, обнаружил в нем ошибку, вывел свое уравнение и применил его для решения задачи. В общем виде `a^2 = (a-n)(a+n) + n^2`, где `n` — любое число меньше `a`. Тогда \[11^2 = 10 \times 12+ 1^2,\] \[12^2 = 10 \times 14 + 2^2,\] \[13^2 = 10 \times 16 + 3^2\] и т. д., затем слагаемые группируются рациональным образом, так что числитель в конце концов принимает вид 700 + 30.

Инженер А. Трофимов (п. Ибреси, Чувашия) произвел очень интересный анализ числовой последовательности в числителе и преобразовал ее в арифметическую прогрессию вида

\[x_1 + x_2 + ... + x_n, где\: x_i = a_{i+1} - a_i.\]

Для этой прогрессии справедливо утверждение

\[x_n = 2n + 1, то\, есть\: a_{n+1}^2 = a_n^2 + 2n + 1,\]

откуда получается равенство

\[a_{n+k}^2 = a_n^2 + 2nk + n^2\]

Оно позволяет подсчитывать в уме квадраты двух-трехзначных чисел и может быть применено для решения задачи Рачинского.

И наконец, правильный ответ оказалось возможным получить путем оценок, а не точных вычислений. А. Полушкин (г. Липецк) замечает, что, хотя последовательность квадратов чисел не линейна, можно пять раз взять квадрат среднего числа — 12, округлив его: `144 \times 5 ~~ 150 \times 5 = 750`. А `750 : 365 ~~ 2`. Поскольку ясно, что устный счет должен оперировать целыми числами, ответ этот наверняка верен. Он был получен за 15 секунд! Но его все же можно проверить дополнительно, произведя оценку “снизу” и “сверху”:

\[10^2 \times 5 = 500, 500 : 365 > 1\] \[14^2 \times 5 = 196 \times 5 < 200 \times 5 = 1000, 1000 : 365 < 3.\]

Больше 1, но меньше 3, следовательно — 2. Точно такую же оценку провел и В. Юдас (Москва).

Сам автор заметки “Сбывшееся предсказание” Г. Полознев (г. Бердск Новосибирской обл.) справедливо заметил, что числитель наверняка должен быть кратен знаменателю, то есть равен 365, 730, 1095 и т. д. Оценка величины частичных сумм однозначно указывает на второе число.

Трудно сказать, какой из предложенных способов расчета наиболее прост: каждый выбирает свой исходя из особенностей собственного математического мышления.

№7, 2006