С интересом ознакомился со статьей Саши Ниходовского "Игра с числами" ("Наука и жизнь" № 3, 2006 г.), в которой он экспериментально доказал постоянство конечной суммы (нумерологического числа) для чисел, получаемых в результате суммирования группы чисел, составленных из цифр путем их произвольной выборки без возвращения из некоторого фиксированного множества, причем выбранными должны быть все элементы множества цифр, в том числе и повторяющиеся.

Математик И. Тебляшкин из Великобритании в статье "Серьезные игры с числами" ("Наука и жизнь" № 6, 2006 г., стр. 65) дал доказательство обнаруженных Сашей свойств, которое основано на свойствах остатков от деления на число 9 - на единицу меньшее, чем основание чисел - 10 (все рассуждения касаются чисел, представленных в десятичной системе), а также на условии, что нулевой остаток считается равным 9. Эти результаты несложно обобщить и на числа, представленные по любому другому основанию.

Если у Саши Ниходовского стимулом к числовым экспериментам послужило изучение в классе арифметических действий, то в моем случае таким стимулом можно считать представление чисел как количественной характеристики в различных системах счисления, а также в виде, удобном для целей программирования. По этой причине меня преимущественно интересовало то, как изменяется конечная сумма (нумерологическое число) для чисел, составляющих какую-либо функцию натурального ряда, то есть образующих последовательность. Было интересно узнать: преобразуется ли каким-либо образом закономерность последовательности в закономерность для конечных сумм ее членов или соответствующий ей ряд нумерологических чисел выстроится случайно? Обычные инженерные калькуляторы служат для этого наиболее доступным инструментом, но можно подумать и над созданием соответствующих компьютерных программ для более глубоких исследова ний. Например, было бы интересно, приписав каждой цифре от 1 до 9 определенный цвет, построить с помощью компьютера "спектральную" картинку той или иной цифровой последовательности. Ниже приведу некоторые результаты выполненных экспериментов.

Напомню, что под конечной суммой k_N числа N (нумерологическое число, по И. Тебляшкину), представленного в позиционной форме, понимается результат последовательного сложения сначала цифр самого числа, затем цифр первой, второй и последующих сумм до тех пор, пока конечная сумма не будет выражена единственной цифрой в интервале от 1 до 9. Вопрос о связи между закономерностью, задающей последовательность, и поведением нумерологических чисел ее членов для интересующего меня класса последовательностей можно переформулировать так: как, не разворачивая в позиционную запись число, представленное в виде натуральной степени n какого либо натурального основания p (N = pⁿ), определить для него конечную сумму k(p|n)?

Опыты, проделанные с числами такого рода, большими 9, с основаниями от 1 до 9, дают следующий результат.

Конечная сумма k(1|n), очевидно, равна 1 и постоянна, не зависит от n. При этом в качестве периода Т следует принять шаг изменения значения n: T₁ = 1.

Конечная сумма k(2|n) чисел вида 2ⁿ является периодической функцией показателя степени n с периодом T₂ = 6, то есть
k(2|n + T₂) = k(2|n) для любых n и принимает значения k_i = {2, 4, 8, 7, 5, 1}, где индекс i пробегает значения i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Аналогично опытным путем для оснований
3 - 9 (для чисел больше 9) можно установить, что:

k(3|n) - постоянна, T₃ = 1, k_i = {9}, i = 1;

k(4|n) T₄ = 3, k_i = {4, 7, 1}, i = 1, 2, 3;

k(5|n) T₅ = 6, k_i = {5, 7, 8, 4, 2, 1}, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6;

k(6|n) - постоянна, T₆ = 1, k_i = {9}, i = 1;

k(7|n) T₇ = 3, k_i = {7, 4, 1}, i = 1, 2, 3 ;

k(8|n) T₈ = 2, k_i = {8, 1}, i = 1, 2 ;

k(9|n) - постоянна, T₉ = 1, k_i = {9}, i = 1.

Чтобы получить единственное значение k(s|n) для цифр с основаниями s от 1 до 9 при заданном значении числа n, следует найти целую часть от деления n/T_s, которую обозначим через [n/T_s], затем составить разность i = {n - [n/T_s] · T_s} и, наконец, выбрать из приведенного множества значений конечной суммы то единственное значение k_i, которое стоит на i-том месте, то есть воспользоваться формулой

k(s|n) = k_i, где i = {n - [n/T_s] · T_s}.

Например, пусть s = 5, n = 1793. Чтобы найти k(5|1793), вычисляем: 1793/Т₅ = 1793/6=
= 298,8333…, целая часть составляет 298. Далее: 1793 - 298·6 = 5, i = 5 и для основания 5 k₅ = 2. Итак: k(5|1793) = 2.

При переходе к многозначным основаниям можно, опять же опытным путем, получить следующий интересный результат:

k(p|n) = k_i(k_p|n), где i = {n - [n/T(k_p)] · T(k_p)},

где k_p - конечная сумма для основания p; T(k_p) - значение периода для конечной суммы чисел вида (k_p)ⁿ, определяемое в соответствии с вышеприведенными правилами; k_i(k_p|n) - i-тое значение конечной суммы для числа вида (k_p)ⁿ из числа периодически принимаемых значений, а скобки […] по-прежнему обозначают целую часть числа.

Пусть, например, требуется найти конечную сумму числа 569³⁵⁸¹⁷: k(569|35817).

Последовательное вычисление для основания 569 сумм (5 + 6 + 9) = 20, (2 + 0) = = 2, дает значение k_p = 2. Значение T(k_p) соответствует периоду чисел с основанием 2, то есть T₂ = 6. Тогда для порядкового номера i значения, которое примет конечная сумма k_i(k_p|n), получаем числовое выражение:

i = {35817 - [35817/6] · 6} = 35817 - 5969 · 6 = 3.

Согласно приведенным результатам, третьим значением в ряду значений k_i = {2, 4, 8, 7, 5, 1} для основания 2 будет число 8. Таким образом, утверждается, что k(569|35817) = 8.

***

В связи с изложенным выше возникают вопросы, ответы на которые хотелось бы получить при посредничестве редакции журнала.

1. Известны ли какие-то результаты, в которых раскрываются связи между свойствами числовых последовательностей и последовательностями соответствующих нумерологических чисел, найденных для членов последовательности или для частичных сумм таких членов?

2. Какие подходы и литература могут быть рекомендованы для углубленных теоретических исследований подобных вопросов?

№9, 2006