Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

Рис. 1.

- А вот и Лестрейд, - произнес Холмс, услышав мелодичный звон дверного колокольчика.

- Почему вы так думаете? - отозвался Уотсон.

- Элементарно, я только что просмотрел утренние газеты, и все они пестрят заголовками о вчерашнем злодейском убийстве в пригороде Лондона и о бессилии полиции найти преступника.

И действительно - не успел Холмс закончить, как появился хмурый озабоченный сыщик Скотленд-ярда Лестрейд.

- Как дела? - после взаимных приветствий спросил Холмс. - Нашли преступника?

Лестрейд молча кивнул, но фигура его при этом как-то поникла. Он вспомнил недавний разговор с начальником полиции. В его ушах все еще звучал шипящий, прерывающийся от злобы голос шефа, потрясающего перед его носом пачкой газет:

- Где преступник? Если в течение трех дней вы его не найдете, будете работать не сыщиком, а конюхом в Скотленд-ярде!

После недолгих колебаний Лестрейд решился обратиться к Шерлоку Холмсу.

- Холмс, я никогда не сталкивался с подобным преступлением: преступник есть и его нет!

- Как это понять? - воскликнул Холмс. - Поясните, дружище, что вы этим хотите сказать.

- Преступника я нашел, абсолютно уверен, что это он, но ничего доказать не могу, а вы знаете: нет доказательств, и преступник уже не преступник.

Уотсон молча слушал, изредка наблюдая за Холмсом. И видя, с каким вниманием тот слушал сыщика, понял, что дело, которое не по зубам даже такой ищейке, как Лестрейд, заинтересовало его. Так и оказалось. Холмс поудобнее устроился в кресле и произнес:

- Рассказывайте, Лестрейд, я весь во внимании.

- Дело вроде бы и несложное, но я буду рад вашему участию. Вчера на полустанке в 23 милях от Лондона была убита графиня мисс Джеми Хадсон. Невольным свидетелем произошедшего оказался старый сторож, который убирал платформу. Мисс Хадсон около 11 часов утра сошла с поезда и присела на лавочку в ожидании автомобиля, который должен был ее встретить. В это время к ней подошел бородатый молодой человек в сильно надвинутой на глаза кепи и попытался выхватить сумочку. Старая графиня оказала отчаянное сопротивление и подняла крик. Тогда грабитель выстрелил в нее, схватил сумочку и быстро исчез в густых зарослях кустарника, окружающего полустанок. Сторож слышал и шум отъезжающего автомобиля.

Мисс Хадсон ехала к племяннику сэру Чарльзу Чейни. Зная его пристрастие к карточной игре и беспутный образ жизни, она неоднократно предупреждала, что перепишет завещание, по которому племяннику отходило крупное состояние, и сделает его нищим. Вчера графиня решилась на последний разговор.

По подозрению в убийстве задержан сэр Чарльз. Ограбление же на полустанке я, Холмс, рассматриваю как инсценировку, как попытку пустить следствие по ложному пути: убедить меня на основании показаний сторожа искать бородатого грабителя. Но я хорошо усвоил старое правило: если хочешь раскрыть преступление - ищи того, кому оно выгодно. Поэтому я в первую очередь арестовал сэра Чарльза и не собираюсь гоняться за мифическим преступником в кепи.

- Так, - протянул Холмс, - мотив убийства налицо, а как насчет возможности?

- В этом-то все и дело, - вздохнул Лестрейд, - мотив у сэра Чарльза есть, а возможности нет!

- А нет ли других подозреваемых?

- Исключено. Старая графиня отличалась большой добротой и высокой порядочностью. Все, кто знал ее, относились к ней с большой любовью, и весть об ее убийстве всколыхнула Лондон, а начальник полиции пообещал выгнать меня с работы, если не найду преступника и не представлю убедительных доказательств. Но, несмотря на все наши старания, мы не смогли найти никаких улик.

- Нет ли алиби у сэра Чарльза?

- И да и нет! В этот день, как обычно, с раннего утра у сэра Чарльза собралась компания. Ровно в 9 часов 10 минут он сообщил, что отправляется на автомобиле на полустанок за мисс Хадсон. В 12.54 он вернулся (это время запомнил один из гостей, который поинтересовался, как долго отсутствовал сэр Чарльз), объяснив, что недалеко от дома у него испортился автомобиль и он был вынужден вернуться обратно. Так что сэр Чарльз отсутствовал 3 часа 44 минуты, с 9.10 до 12.54, то есть в момент убийства графини.

Но все дело, Холмс, в том, что за это время - 3 часа 44 минуты - доехать от фермы до полустанка и вернуться невозможно.

- Так, - задумчиво произнес Холмс. - Уотсон, будьте любезны, дайте лист чистой бумаги и карандаш Лестрейду, и пусть он нарисует нам чертеж местности.

- Хорошо, - отозвался Лестрейд и быстро изобразил, давая пояснения, план местности.

- Точки О и А обозначают дом сэра Чарльза и полустанок. Расстояние между ними 49,9 мили. Вдоль железной дороги тянется узкая лесополоса. В ней проходит плотная ровная дорога. Вокруг дома до самой лесополосы простирается скошенное поле.

Глядя внимательно на чертеж, Холмс спросил:

- Лейстрейд, когда проводили следственный эксперимент, проверяя, можно ли за 3 часа 44 минуты добраться от дома сэра Чарльза до полустанка и вернуться, по какой дороге ехали?

- Как по какой? - удивился Лестрейд. - Разумеется, по самой короткой: по прямой ОА. Наибольшая скорость автомобиля на ней - 24,8 мили в час.

- Уотсон, - произнес Холмс, - будьте любезны, дайте мне карту местности и книгу в зеленом сафьяновом переплете со второй полки.

Подавая карту и книгу, Уотсон мельком взглянул на нее - книга была по математике. Но ничего не спросил и молча опустился обратно в кресло.

Тем временем Холмс достал из стола измерительную линейку, остро отточенный карандаш и склонился над картой.

Уотсон и Лестрейд внимательно следили за ним.

Холмс провел несколько прямых на карте, измерил по ней какие-то расстояния и углубился в длительные расчеты, изредка заглядывая в книгу.

Прошло немало времени, прежде чем Холмс оторвал взгляд от стола и воскликнул:

- Наконец-то закончил!

И обращаясь уже к Лестрейду, продолжил:

- Нет преступления, не оставляющего улик. Надо только знать, где их искать, и уметь найти. Где искать, я вам сообщу: в перелеске, около железной дороги, в 23 милях от полустанка, а найти улики уже ваше дело.

Лестрейд вскочил:

- Будьте уверены, Холмс, если улики там, я их найду!

И действительно, на следующий день вечером в квартиру Шерлока Холмса ворвался Лестрейд. Он был в сильном возбуждении. И лицо его так и светилось счастьем.

- Нашел улики, - с порога крикнул он, - именно там, где вы, Холмс, указали! Я нашел следы протектора автомобиля сэра Чарльза. И время движения по пути, указанному вами - от дома по полю до этого места в перелеске, затем по дороге до полустанка и обратно, - составило 3 часа 42 минуты. Так что, Холмс, благодаря вам я теперь имею неоспоримые улики против сэра Чарльза. Дело можно считать закрытым.

Дорогой Холмс, - продолжал самодовольно Лестрейд, - хотя я не разделяю ваших методов, но должен признать, что ваша интуиция позволяет иногда самым удивительным образом разгадывать преступления. Если бы вы еще к тому же уделяли больше внимания практике, как я, то действительно могли стать хорошим сыщиком.

- Благодарю вас, Лестрейд, - усмехнулся Холмс, - за комплимент и добрый совет, я непременно последую ему.

Поздно вечером, когда Лестрейд ушел и Холмс расположился в своем кресле возле камина, Уотсон решился наконец спросить друга:

- Холмс, как вы определили место, где надо было искать улики?

- Элементарно! В одном Лестрейд прав: преступление на редкость дерзкое, расчет преступника был в том, что сыщики Скотленд-ярда действуют прямолинейно, для них самый короткий путь - это движение по прямой. Вот и Лестрейд считал, что преступник двигался по кратчайшему пути ОА от фермы до полустанка.

- Холмс, - не удержался Уотсон, - но путь по прямой действительно наикратчайший!

- Нет, дорогой Уотсон. Путь по прямой - самый короткий по расстоянию, но не по времени движения. Посмотрите на карту, Уотсон: преступник мог двигаться от дома до полустанка и по другому пути - доехать сначала до дороги в лесополосе, а затем по ней добраться до полустанка. В отличие от Лестрейда это хорошо понимал сэр Чарльз и выбрал именно такой путь.

- Значит, Холмс, кривой путь оказался короче! Но как вы это установили?

- Сейчас объясню. Вот, Уотсон, чертеж Лестрейда. На нем через точку А, изображающую полустанок, проведем прямую вдоль железной дороги. Она изобразит дорогу в лесополосе. Теперь из точки О, обозначающей дом, опустим перпендикуляр на прямую в точку С и начертим отрезок ОD (см. рис. 1.).

В результате получим схему возможных путей от дома до полустанка.

- Холмс, а не мог ли сэр Чарльз двигаться по какому-то другому пути?

- Нет, Уотсон, все остальные пути от дома до полустанка, как видно из чертежа, заведомо хуже.

Пусть t , - продолжал далее Холмс, - время движения по пути ОDА. Как видно из чертежа, он зависит от угла СОD, который обозначим φ, и, следовательно, t = t(φ). Определим зависимость t от φ. Для этого построим систему координат, проведя одну ось через точку О параллельно прямой АС, а другую - перпендикулярно ей. Назовем одну из них O_φ, на ней будем откладывать углы φ, другую - O_t, на этой оси откладываем значения t(φ).

- Так, - произнес Уотсон, глядя на чертеж, - теперь я начинаю понимать. Вы, Холмс, хотите найти зависимость времени от угла φ. Затем определить угол φ^опт, при котором время движения минимально. И, зная этот угол, отыщите путь, по которому двигался преступник.

- Браво, Уотсон! Вы делаете успехи!

- Стараюсь, Холмс! Но как вы получили зависимость времени движения от величины угла φ?

- Элементарно! По карте вычислил кратчайшее расстояние между домом и дорогой, то есть расстояние ОС. Оно оказалось равным

OC = h = 29,7 мили.

Из прямоугольного треугольника ОСD нашел расстояние ОD:

OD = h/cosφ =29,7/cosφ.

Скорость движения автомобиля по скошенному полю, как установил Лестрейд, равна v =24,8 мили в час. Поэтому на путь ОD затрачивается

h/v ^. cosφ.

Далее по карте определил расстояние СА:

CA = H = 40,1 мили.

Из треугольника ОСD - расстояние СD:

CD = h tg φ = 29,7 tg φ мили

и нашел длину пути DА:

DA = CA - CD = H - h tgφ = 40,1 - 29,7 tgφмили.

По утверждению Лестрейда, дорога DА ровная и плотная, поэтому по этой дороге автомобиль может развить максимальную скорость. Для автомобиля сэра Чарльза она составляет, насколько мне известно, υ = 49,7 мили в час. Следовательно, на путь DА затрачивается

часов.

И, таким образом, время движения от дома до полустанка по пути ОDА

часов.

Итак, Уотсон, функция t(φ) получена. Установим теперь угол φ^опт, при котором время t(φ) минимальное. Для этого воспользуемся методом спуска.

- Холмс, - взмолился Уотсон, - в чем его суть?

- По методу спуска выбираем начальное значение угла φ, например φ₁ = 0^о, и определяем некоторое число ∆φ₁ > 0, например ∆φ₁ = 1^о, такое, что t(φ₁ + ∆φ₁) < t(φ₁). Затем, полагая последовательно k =2, 3, ... в неравенстве

находим первое значение k = k*, при котором оно нарушается, то есть

Число φ₁ + k* ∆φ₁ обозначим φ₂ и продолжим спуск таким же образом, но только в обратном направлении, то есть находим положительное число ∆φ₂, например

,

при котором и так далее. В результате получается последовательность значений φ₁, φ₂ ... , приближающихся к углу φ^опт. Так, после некоторого n-ного шага можно получить приближенное значение φ_nугла φ^опт..

- Холмс, - спросил Уотсон, - но как вы определите, что найденное значение угла - действительно приближенное значение φ^опт?

- Очень просто! Из метода спуска следует, что угол φ^опт находится между углами φ_n и φ_n-1. Поэтому погрешность |φ_n - φ^опт| не превысит |φ_n - φ_n-1|, то есть |φ_n - φ^опт| ≤|φ_n - φ_n-1|.

Продолжим, Уотсон. Используя этот метод спуска, за три шага я вычислил приближенное значение φ₄ 30^о угла φ^опт, и, следовательно, наименьшее время, за которое можно добраться от дома до полустанка, t(φ^опт) t(30^о) = 1 час 42 минуты. .

Таким образом, сэр Чарльз вполне успевал за 3 часа 44 минуты доехать от дома до полустанка и вернуться обратно. Поэтому я и посоветовал Лестрейду искать улики именно около лесополосы, в 23 милях от полустанка. С чем он великолепно справился.

- Холмс, - спросил Уотсон, - нет ли более простых методов отыскания минимального значения функции t(φ)?

- Есть, но они требуют знания уже высшей математики, в частности производной...

- Не надо, Холмс, - прервал его Уотсон, - все же я доктор, а не инженер! Лучше ответьте: где еще приходится иметь дело с отысканием оптимальных решений?

- Дорогой Уотсон! Вся наша жизнь - это непрерывная цепь попыток найти оптимальные решения тех или иных вопросов, с которыми приходится сталкиваться повседневно в жизни! На практике же потребность в отыскании оптимальных решений возникает при отыскании лучших путей перевозки грузов, в задачах о том, как раскроить материал, чтобы отходы были минимальными, и во многих других случаях.

Ну вот и все, - продолжал Холмс. - Это дело доставило мне большое удовлетворение: я встретился с равным противником, обладающим аналитическим умом. Логика его преступления основывалась на том, что сыщики Скотленд-ярда, ярким представителем которых является Лестрейд, отличные ищейки, имеющие бульдожью хватку, но абсолютно не в ладах с логическими методами и тем более с математическими, и поэтому сэр Чарльз был уверен, что Лестрейд никогда не определит оптимальный путь и, не зная его, не сможет найти место, где следует искать улики. Искать же на площади почти в 600 квадратных миль дело явно безнадежное. Так что, дорогой Уотсон, если у вас не осталось больше вопросов, то, будьте добры, подайте мне скрипку.

№3, 2001