Наука и жизнь // Иллюстрации

Наука и жизнь // Иллюстрации

ПРИГЛАШАЕТ МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Заочное отделение малого мехмата МГУ объявляет прием учащихся на 2007/08 учебный год в 8-й и 9-й классы (см. "Наука и жизнь" № 12, 2006 г.). На заочное отделение принимаются учащиеся из России (в том числе и проживающие в Москве), стран СНГ и Прибалтики. Несколько учеников из одной школы могут учиться группой по форме "Коллективный ученик". Группа работает под руководством преподавателя и должна включать в себя не более 15 учащихся из одной параллели. Как правило, материалы методических разработок изучаются такими группами во время факультативных (кружковых) занятий. Группа "Коллективный ученик" и платит и обучается как один учащийся, то есть оформляет по каждому заданию одну работу.

Зачисление в 8-й и 9-й классы для индивидуальных учеников производится на конкурсной основе по результатам выполнения вступительной работы (коллективным ученикам выполнять ее не требуется).

Вступительные работы обратно не высылаются.

Обучение на заочном отделении платное. Информация об условиях оплаты будет выслана учащимся, зачисленным на заочное отделение, летом или осенью 2007 года, после проверки вступительных работ. В 2006/07 учебном году стоимость оплаты одного задания составляет 120 рублей (для группы "Коллективный ученик" - 160 рублей), однако в 2007/08 учебном году она может быть повышена. За год учащийся выполняет 6-9 заданий. Школьники, успешно (с итоговой оценкой "хорошо" или "отлично") закончившие обучение на заочном отделении, получают свидетельства об окончании малого мехмата (прошедшим курс обучения по форме "Коллективный ученик" вместо свидетельств выдаются справки об окончании малого мехмата).

Желающие поступить на заочное отделение малого мехмата (как в 8-й, так и в 9-й класс) должны не позднее 30 апреля 2007 года выслать в наш адрес решения задач вступительной работы (при этом необязательно должны быть решены все задачи). Вступительную работу выполняют в школьной тетради в клетку. Записывать решения в тетрадь следует в том порядке, в котором идут задачи во вступительной работе. На обложку тетради наклеивают лист бумаги со следующими данными:

Фамилия, имя, отчество учащегося.

Класс (в 2007/08 учебном году).

Полный домашний адрес с указанием индекса почтового отделения.

Электронный адрес, по которому с вами можно связаться (если он есть).

Откуда вы узнали о наборе на заочное отделение.

Группам "Коллективный ученик" необходимо не позднее 20 сентября 2007 года выслать письмом или по электронной почте следующие данные:

Фамилия, имя, отчество руководителя группы.

Фамилии, имена и отчества учащихся (не более 15 человек) в алфавитном порядке.

Класс (в 2007/08 учебном году).

Полный адрес руководителя группы (по которому следует высылать задания) с указанием индекса почтового отделения.

Электронный адрес, по которому с вами можно связаться (если он есть).

Откуда вы узнали о наборе на заочное отделение.

Наш адрес: 119992, Москва, ГСП-2, Ленинские горы, МГУ, мехмат, МММФ.

Более подробную информацию о малом мехмате можно найти на нашем сайте в Интернете по адресу: http://mmmf.math.msu.su

Электронные адреса малого мехмата:

вечернее отделение - mmmf_v@mech.math.msu.su

заочное отделение - mmmf_z@mech.math.msu.su

Телефон для справок: (495) 939-39-43.

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ РАБОТА

(Малый мехмат. Заочное отделение)

1. Один землекоп может вырыть яму за два часа, другой выроет такую же яму за три часа, третий - за шесть часов. За какое время три землекопа выроют яму, работая вместе?

2. Известно, что

0 ≤a ≤ b ≤ c ≤ 1.

Докажите, что

1 - (1 - a) (1-b) (1 - c) ≥ c.

3. Существует ли выпуклый четырехугольник, в котором каждая из сторон больше каждой из диагоналей?

4. В строку выписаны подряд все целые числа от 1 до 10 000. Сколько из них содержат в своей записи цифру "3"?

5. Решите систему уравнений:

(не забудьте указать все решения).

6. Сумма нескольких чисел равна 10. Может ли сумма их квадратов быть меньше 1/1000 ?

7. Доля шахматистов среди математиков больше, чем доля шахматистов среди всех людей. Что больше: доля математиков среди шахматистов или доля математиков среди всех людей?

8. В прямоугольнике ABCD отмечены: точка M - середина стороны BC , точка N - середина стороны CD , точка K - точка пересечения отрезков BN и MD . Докажите, что MKB = MAN.

9. Докажите равенство:

10. 20 футбольных команд провели первенство по круговой системе в один круг (это значит, что каждая команда сыграла с каждой по одному разу). Могло ли случиться так, что каждая команда выиграла столько же матчей, сколько и свела вничью?

ХОТИТЕ СТАТЬ МАТЕМАТИКОМ?

Вам интересно, по какой линии двигается котенок, сидящий на середине лестницы, если лестница сползает вниз? А как выглядят сечения четырехмерного куба? На эти и множество других интересных вопросов вы сможете ответить, если станете учеником математического отделения Открытого лицея "Всероссийская заочная многопредметная школа" (ОЛ ВЗМШ). Эта уникальная школа существует более сорока лет. К нам может поступить каждый, кого интересуют математика, физика, химия, биология и другие дисциплины.

Все поступившие на математическое отделение будут получать по почте пособия и другие материалы, специально разработанные для заочного обучения, задачи для самостоятельной работы, контрольные и практические задания. Контрольные работы станут тщательно проверять и рецензировать преподаватели ВЗМШ - студенты, аспиранты, преподаватели и научные сотрудники МГУ, а также других вузов и учреждений, где имеются филиалы школы. На сайте отделения работает консультационный центр, где можно быстро получить совет по решению задач.

Обучение длится до 5 лет, но начать его можно с любого курса. Учащиеся 6-го класса поступают на 1-й курс, учащиеся 7-го - на 2-й курс и т. д.

Десятиклассники поступают на 5-й курс. При этом поступившим не на 1-й курс будет предложена часть заданий за предыдущие годы. Для поступивших на 5-й курс обучение проводится по специальной интенсивной программе с упором на подготовку в вуз. ВЗМШ принимает не только школьников, но и взрослых, и в этом случае выбор курса зависит от поступающего.

На индивидуальное обучение прием осуществляется по конкурсу. Для поступления необязательно решить все задачи, главное показать умение рассуждать и записывать свои мысли. Следует выбрать те задачи, которые соответствуют классу, в котором обучается школьник (около номера каждой задачи в скобках указано, учащимся каких классов она предназначена; но можно, конечно, решать и задачи для более старших классов).

Группы "Коллективный ученик" принимаются без выполнения вступительной работы, необходимо только прислать заявление учителя и список учащихся, заверенные подписью директора и печатью школы. В заявлении указывается класс, в котором школьники будут учиться с сентября 2007 года. Группа оформляет одну "коллективную работу", которая также проверяется и рецензируется. Учащиеся частично возмещают расходы на обучение.

Все окончившие ВЗМШ получают дипломы соответствующего образца.

Решения задач надо написать на русском языке в обычной ученической тетради в клетку и выслать простой бандеролью, не сворачивая в трубку. Желающие поступить сразу на несколько отделений каждую работу присылают в отдельной тетради. На обложке тетради укажите: фамилию, имя, отчество (ПЕЧАТНЫМИ БУКВАМИ), год рождения, базовое образование (сколько классов средней школы будет закончено к сентябрю 2007 года), полный почтовый адрес (с индексом) и, если есть, электронный адрес. Напишите, откуда вы узнали о ВЗМШ. Не забудьте указать, на какое отделение хотите поступить (вступительные работы на все отделения можно найти в журнале "Квант" № 6, 2006 г., на отделение биологии - в журнале "Наука и жизнь" № 12, 2006 г.).

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ РАБОТА

(Отделение математики ВЗМШ)

(Значком * отмечены более трудные, с точки зрения составителей работы, задачи.)

1 (6-10). Одновременно начинают бить 3 колокола. Первый бьет с интервалом между ударами 4/3 секунды, второй - 5/3 секунды, а третий - 2 секунды. Совпадающие по времени удары колоколов воспринимаются как один удар. Сколько ударов будет услышано за 1 минуту, считая первый и последний?

2*(6-10). Каково наибольшее возможное отношение пятизначного числа к сумме его цифр?

3 (8-10). Пусть AD и ВЕ - медианы треугольника АВС , О - точка их пересечения, а площадь треугольника АВС равна S . Найдите площадь четырехугольника СDOE .

4 (6-10). Имеются 80 автомашин и мотоциклов, причем 3 мотоцикла - с колясками (у них 3 колеса), а остальные - без коляски. Все эти агрегаты имеют вместе 279 колес (без учета запасных). Сколько среди них автомашин?

5 (6-10). Известно, что x , y , z - целые числа и что

Найдите x , y и z .

6 (9-10). Найдите углы ромба, сторона которого есть среднее геометрическое между его диагоналями (то есть квадрат стороны ромба равен произведению диагоналей).

7 (6-10). Даны три различные цифры. Из них можно составить шесть двузначных чисел без повторяющихся цифр. Если сложить все эти числа, получится 528. Найдите данные цифры.

8* (6-10). Пусть стороны прямоугольника - целые числа, а его периметр и площадь равны одному и тому же числу. Найдите все такие прямоугольники.

9 (7-10). Разложите на множители выражение

х⁸ + х⁷ + 1.

10* (8-10). Найдите сумму цифр всех целых чисел от 1 до 10ⁿ - 1.

11 (8-10). Решите систему уравнений:

12 (7-10). Чему мог равняться угол между часовой и минутной стрелками часов, если его величина повторилась ровно через 30 минут?

Работы следует направлять по адресу:

119234, Москва, В-234, МГУ, ВЗМШ, отделение математики, на прием.

Сайт математического отделения в Интернете - http://math.vzms.org

Электронный адрес - E-mail: vzms@vzms.org

Телефон для справок: (495) 939-39-30.

Срок отправки работ - не позднее 15 апреля 2007 года.

Вступительные работы обратно не высылаются.

Заявление от учителя для обучения в группе "Коллективный ученик" можно выслать до 15 сентября 2007 года. Однако, если вы решили вести такую группу на следующий год, лучше прислать заявление пораньше, чтобы до начала летних отпусков мы смогли выслать вам программу обучения и, возможно, некоторые пособия.

Материал подготовлен заведующей отделением математики ОЛ ВЗМШ Л. Г. СЕРЕБРЕННИКОВОЙ. lserebrennikova@vzms.org

ХОТИТЕ СТАТЬ ФИЗИКОМ?

Физическое отделение Открытого лицея "Всероссийская заочная многопредметная школа" (ОЛ ВЗМШ) объявляет прием учащихся на 2007/08 учебный год. Мы предлагаем качественное дополнительное образование в одной из старейших заочных школ страны. Преподаватели отделения - студенты, аспиранты, сотрудники и выпускники физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Наши учебные планы основаны на "Программе по физике для поступающих в МГУ". Основная задача отделения - углубленное изучение разделов школьной программы, а также дополнительных вопросов, остающихся за рамками многих школьных учебников, включая знакомство с соответствующими математическими методами. Особое внимание уделяется методике решения задач. На основе этого достигается систематизация знаний и умений с учетом требований, предъявляемых на вступительных экзаменах.

На трехгодичный поток (курс Ф3) принимаются оканчивающие в 2007 году 8 классов средней школы, на двухгодичный (курс Ф2) - 9 классов и на одногодичный (курс Ф1) - 10 классов. Учащиеся, оканчивающие 10-й класс, могут пройти ускоренно всю программу за один год (курс Ф0). Для поступления на курс Ф3 нужно решить задачи 1-5 вступительной работы, на курс Ф2 - задачи 4-9, на курс Ф1 - задачи 5-10, на курс Ф0 - задачи 4-10. На обложке тетради укажите фамилию, имя и отчество, сколько классов будет закончено к сентябрю 2007 года, код курса (Ф0, Ф1, Ф2 или Ф3), полный почтовый адрес (с индексом), e-mail (если есть), телефон. Срок отправки вступительного задания - до 1 июня 2007 года. Группы "Коллективный ученик" принимаются на курсы Ф1, Ф2, Ф3 без вступительной работы, только по заявлению руководителя. Наш почтовый адрес:

119234, Москва, В-234, Ленинские горы, МГУ, ОЛ ВЗМШ, отделение физики .

Сайт отделения физики в Интернете: http://phys.problems.ru/

ВСТУПИТЕЛЬНАЯ РАБОТА

(Отделение физики ВЗМШ)

1. Турист проплыл на катере вниз по реке от одной пристани до другой, после чего сразу пересел в лодку и вернулся обратно. Средняя скорость туриста составила v₁ = 12 км/ч. В другой раз он проделал первую половину пути на лодке, а вернулся на катере, при этом средняя скорость туриста оказалась равной v₂ = 15 км/ч. Найдите скорости катера и лодки относительно воды, если скорость течения реки u = 2 км/ч.

2. В сосуд с теплой водой опускают тело объемом V , внутри которого имеется полость объемом 2 V/3, заполненная льдом. Тело вначале погружается на 5/6 своего объема. Лед начинает медленно таять, при этом полость сообщается с водой в сосуде через маленькое отверстие в теле. Утонет ли тело, когда весь лед растает?

3. На цоколе одной из ламп написано 30 В, 15 Вт, а на цоколе другой - 80 В, 40 Вт. Спирали ламп сделаны из одинакового материала и отличаются только длиной. Лампы соединяют последовательно и подключают к источнику постоянного напряжения U = 110 В, при этом в лампах выделяется суммарная мощность P = 50 Вт. Найдите, во сколько раз при таком подключении сопротивление каждой лампы отличается от сопротивления при работе лампы в режиме, на который она рассчитана.

4. Два жука, находящиеся в вершинах А и С квадрата АВСD , начинают ползти вдоль сторон этого квадрата по часовой стрелке. Скорости жуков одинаковы. Нарисуйте траекторию одного из жуков в системе отсчета, связанной с другим жуком.

5. Солнечные лучи падают на собирающую линзу с фокусным расстоянием F₁ = 10 см через круглое отверстие в непрозрачном экране. За линзой на расстоянии l = 40 см от нее установлен второй экран, радиус светового пятна на нем r = 12 см. Каким окажется радиус этого пятна, если посередине между линзой и вторым экраном поставить еще одну линзу с фокусным расстоянием F₂ = 20 см?

6. К концам нити, переброшенной через блок, привязаны два тела массами m₁ = 1 кг и m₂ = 2 кг. Тела удерживают так, что первое находится на ∆h = 1 м ниже второго. В некоторый момент тела отпускают. Спустя какое время расстояние по вертикали между телами снова станет равным 1 м, если известно, что в момент, когда тела оказались на одной высоте, нить оборвалась? Блок и нить идеальные.

7. Тело, брошенное в горизонтальном направлении, должно упасть на землю не ближе L = 10 м по горизонтали от места бросания. С какой высоты нужно произвести бросок, чтобы скорость тела при падении на землю была минимальной?

8. К концам палочки длиной L = 20 см приложены силы F₁ = 1 Н и F₂ = 2 Н, направленные под углом α = 45° к палочке (рис. 1). С какой силой F нужно подействовать на эту палочку, чтобы она оставалась в равновесии? Куда должна быть приложена эта сила?

9. По столу может ездить тележка массой M , к которой с помощью идеальной пружины жесткостью k прикреплен брусок массой m (рис. 2). В начальный момент тела покоятся, а пружина сжата на величину ∆L . Какой будет максимальная скорость бруска относительно тележки, если систему предоставить самой себе? Трением между бруском и тележкой пренебречь.

10. Над молем одноатомного идеального газа проводят цикл 1231, изображенный на p - T -диаграмме (рис. 3). Начальные давление и температура газа равны p₁ и T₁ соответственно, температура газа в точке 2 равна T₂ = 1,5 T₁. Найдите работу газа за цикл и кпд тепловой машины, работающей по такому циклу.

№1, 2007