Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Основные понятия и соотношения

1. Клубни картофеля представляются в виде сплошных однородных тел, имеющих формы трехосных эллипсоидов:

(1)

где а, b, с (а≥b≥с) - полуоси эллипсоидов вдоль осей х, y, z.

Объем V и вес Р таких тел определяется формулой

P = ρV, (2)

где ρ - удельный вес картофеля.

2. Процесс чистки картофеля заключается в снятии с поверхности клубня слоя толщиной δ. Величина δ для клубня считается не зависящей от координат х, y, z. Она может зависеть как от покупателя (умения чистящего, используемого им оборудования и т. д.), так и от производителя (гладкости поверхности выращенного им клубня; повреждений клубня, полученных при уборке урожая, транспортировке, хранении и др.). Таким образом, величина δ выступает показателем качества картофеля, причем покупатель и продавец могут оценивать один и тот же товар по-разному.

3. Величина отношения веса клубня после очистки P_o к весу клубня до очистки P_н исходя из (2) определяется формулой

(3)

Зависимость (3) показывает, что чем больше размеры клубня и чем меньше толщина слоя очистки, тем относительно большая часть клубня идет на потребление.

На рис. 1 приведена зависимость (3) для случая параметров а и b, пропорциональных параметру C (a = αC, b = βC), то есть для случая изменения объемов клубней при сохранении заданной формы (α = 1,5 и β = 1,27). Здесь же дана и обратная зависимость К^-1 = 1/К. Эти зависимости лежат в основе всех проведенных в работе расчетов.

4. Цена очищенного картофеля C_o связана с ценой неочищенного картофеля С_н зависимостью

Р_оС _о = Р_н С_н (4)

(стоимость самой очистки не учитывается). Отсюда получаются соотношения:

С_н = КС_о; С_о = К^-1С_н . (5)

Исходя из (5) функцию К можно трактовать как зависимость, определяющую цену неочищенного картофеля С_н при цене очищенного картофеля С_о = 1. Соответственно функция К^-1 трактуется как зависимость, определяющая С_о при С_н = 1. При С_о, равном некоторому значению С^*_о, или при С_н, равном С_н^*, зависимости для С_н и С_о получаются при деформировании кривых К и К^-1 соответственно в С_о^* и С_н^* раз вдоль оси ОС_н (ОС_о) (см. рис. 1).

5. Предполагается, что существует максимальная цена на очищенный картофель (в конечном счете, именно его и покупают), которая определяется урожаем картофеля и ценами на другие продукты питания (макаронные изделия, хлеб, крупы и др.) и превышение которой приводит к отказу покупателя от картофеля в пользу других продуктов.

На рис. 2 в условных единицах обозначена величина С_о^max = 1 и соответствующие ей зависимости (5) (линии С_н, 1, 2, 3), определяющие цены на неочищенный картофель для различных величин δ (здесь и в дальнейшем цифры 1, 2, 3 на рисунках соответствуют величинам δ = 1, 2, 3 мм). Если бы рыночные цены на неочищенный картофель С_н разного качества (δ = 1, 2, 3 мм) задавались указанными зависимостями 1, 2, 3, то весь картофель как продукт питания (очищенный) был бы куплен по одинаковой цене С_о^max = 1. На реальном рынке такой контроль величин геометрических параметров и качества клубней, конечно же, невозможен, поэтому зависимости для С_н неизбежно становятся кусочно-постоянными, соотносящими параметры клубней, изменяющиеся в определенных пределах, с одинаковой ценой С _н^o.

Оценка продавцом качества своего товара, например, величиной δ = 1 мм при 20 мм≤С<30 мм приводит к отпускной цене С _н^o для этого интервала изменения С, соответствующей точке пересечения прямой С = 20 мм и кривой С_н при δ = 1 мм на рис. 2. Это максимальная цена, обеспечивающая выполнение условия непревышения цены очищенного картофеля величины С_о^max для всех δ≤1 мм. Для покупателей, оценивающих качество этого товара величиной δ>1 мм, цена очищенного картофеля будет превышать С_о^max (см. рис. 2), и эти покупатели предпочтут картофелю другие продукты питания. Чтобы увеличить количество покупателей, продавцу придется согласиться с более низкой оценкой качества его товара частью потенциальных покупателей (см. на рис. 2 интервал 10 мм≤С<20 мм, где оценка качества δ=2 мм).

Варьируя границы интервалов постоянства цены С_н^о и величины δ, продавец добивается оптимального варианта, позволяющего реализовать весь картофель по наибольшей возможной цене.

С использованием полученных результатов авторы попытались провести анализ цен на картофель на рынках г. Днепропетровска в 1999 году.

Сплошными линиями С_н^о на рис. 3 обозначены цены (в гривнах) на картофель в августе 1999 года (картофель однородный, α=1,5; β=1,27):

Сплошными линиями 1, 2, 3 на рис. 3 нанесены определенные по приведенной выше методике цены на очищенный картофель соответственно для δ=1, 2, 3 мм.

Штриховые линии на рис. 3 - аналогичные зависимости для цен в сентябре 1999 года.

С_н^о =0,9 гривны при 15 мм≤С<30 мм.

Судя по всему, из-за засушливого лета 1999 года было много мелких клубней, и для более выгодного сбыта оказалось необходимым смешать их с картошкой покрупнее и продать по одной цене.

Полученные результаты позволяют сделать некоторые выводы, полезные для покупателей:

1. В пределах интервала постоянства цены С_н^о покупателю выгодно выбирать клубни покрупнее, и чем больше этот интервал, тем значительней выгода (ниже цена очищенного картофеля).

2. Продавец, как правило, назначает цены С_н^о для различных интервалов изменения параметров клубней, пользуясь пропорциональной зависимостью (см. рис. 3 - рост цен на 0,2 гривны).

Аппроксимация нелинейной зависимости линейной, так же как и интервалы постоянства цены, приводит к существованию более выгодных для покупателя вариантов, которые можно определить в результате расчетов (см. рис. 3).

3. В формуле (4) не заложена стоимость очистки картофеля, но при назначении цены С_н^о продавцу приходится учитывать большую трудоемкость очистки клубней малого размера. Так, как видно из результатов, приведенных на рис. 3, разница в цене С_н^о на клубни с параметрами С=15 мм, δ=1 мм и С=30 мм, δ=2 мм составляет 0,4 гривны, хотя, как видно из рис. 1, выход очищенного картофеля и соответственно его цена должны быть одинаковыми для этих клубней. Разница в цене и есть та сумма, которую продавец уступает покупателю меньших клубней, компенсируя ему "затраты" по очистке (площади очищаемых поверхностей в рассмотренном случае отличаются приблизительно в два раза).

Представленные результаты, конечно же, вызовут много возражений: и форма картофеля не эллипсоид, и толщина очистки даже одного клубня - величина не постоянная и др. Но попробуйте! Измерьте несколько клубней по трем характерны м размерам, прикиньте толщину очистки и оцените свою покупку (для оценки можно изготовить небольшую таблицу). А проверить правильность оценки можно экспериментально - взвесить картофель до и после очистки.

№4, 2001